Dichte eines zweistufigen Zufallsexperiments?

Ich weiß, es gibt gerade zwar wirklich Wichtigeres auf der Welt, aber nichtsdestotrotz steht am 20.4. eine wichtige Mathe-Klausur an, bei dessen Vorbereitung ich mir gerad schwer tue. Und damit geht's schon direkt in die Aufgabe hinein.

Wir betrachten ein zweistufuges Zufallsexperiment.In der ersten Stufe wird eine Münze geworfen mit P(M= 0) = 1/4 und P(M= 1) = 3/4

Die zweite Stufe ergibt sich so:

Gegeben {M = 0} ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit Mittelwert 3 und Varianz 9.

Gegeben {M = 1} ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit Mittelwert -1 und Varianz 4.

a) Berechnen Sie (i) den Erwartungswert und (ii) die Varianz von X

(b) Bestimmen Sie die Dichte von X

Bisheriger Ansatz:

Das Ergebnis der ersten Stufe wäre E [X] = E [X | M = 0] * P (M = 0) + E [X | M = 1] * P (M = 1) , also mit Zahlenwerten 3 * 1/4 + (-1) * 3/4 = 3/4 - 3/4 = 0.

Dann ist das Variänzchen:

Var [X] = E [X²] - E [X]² = E [X²] - 0

= (9 + 3²) * 1/4 + (4 + (-1)²) * 3/4

= 18 * 1/4 + 5 * 3/4 = 33/4

Jetzt komme ich bei der Dichte nicht weiter. In unserem Lehrbuch steht für Bedingte Dichten: "Ist f (a_1, a_2) da_1, da_2 gemeinsame Dichte von X_1 und X_2 und f_1 (a_1) da_1 Dichte von X_1, dann setzen wir

P (X_2 ∈ da_2 | X_1 = a_1 ) := (f (a_1,a2) / f1 (a_1) ) da_2

und sprechen von der bedingten Dichte von X_2, gegeben {X_1 = a_1}"

Hat das überhaupt was mit der Aufgabe zu tun? Ne, oder?!

Bisher hatten wir immer Aufgaben, wo man bei Standard-Expotentialverteilten Zufallsvariablen die Dichte berechnen sollte. Da wurde dann immer die Ableitung der Verteilungsfunktion berechnet. Das greift hier auch nicht. Wie soll man am besten vorgehen?

Danke und (verzeiht den momentan etwas abgenutzten Spruch) bleibt Gesund.

Schule, Mathematik, Dichte, Statistik, Stochastik, Uni, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufall, Erwartungswert, mittelwert, Normalverteilung, Varianz, Zufallsexperiment
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Beweis ln (Y) expotentialverteilt und Parameter bestimmen?

Guten Abend,

ich weiß es gibt gerade wirklich wichtigere Probleme auf der Welt, aber unmittelbar nach Beginn der XXL-Corona-Ferien steht direkt um 8.00 Uhr eine wichtige Klausur auf dem Stundenplan. Aber ich will eure wertvolle Zeit nicht weiter mit unwichtigen Details verschwenden, sondern direkt in "medias res" gehen, wie der Franzose sagt. Die Aufgabe

"U sei uniform verteilt auf [0,1]. Wir definieren Y:= 1 / U^(1/3)

a) Berechne

i) die Verteilungsfunktion

ii) die Dichte

iii) den Erwartungswert

b) Weise nach dass ln Y expotentialverteilt ist und finde den Parameter.

Für den Lösungsansatz hab ich versucht die Lösung mit dem Formeleditor hier auf Gutefrage.net zu "texen", aber irgendwie hängt sich die Seite nach einiger Zeit auf. Auch nach 2 Stunden konnte das Problem nicht behoben werden, deswegen hier eine meine Lösungsansatz von einer anderen Latex-Distribution als Screenshot:

Meine Frage

zu iii) Der Erwartungswert wäre doch eigentlich a * 3a^-4, also 3a^-3. Wieso wird bei Integrieren das a^-3 als konstanter Faktor behalten und die 3 nicht. Weil Integrieren ist doch eigentlich "Den Exponenten um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen". Wieso erhöht man den Exponent von 3a^-3 also um 1, so dass es -2 wird und teilt durch 3, aber behält a^-3 als konstanten Faktor. Ein konstanter Faktor bleibt ja beim Ableiten erhalten. Aber wieso wird dann a^-3 als konstanter Faktor gewählt und nich etwa 3? Welchen Faktor soll man beim Integrieren als Konstante betrachten? Ich weiß, blöde 9.Klässler-Frage, aber es beschäftigt mich gerade

zu b) Hier verstehe ich generell nicht, was gemacht wird. Klar, im ersten Schritt wird mittels der e-Funktion ln (Y) zu Y aufgelöst. Aber was geschieht danach und wieso weißt man danach nach, dass ln(Y) expotentialverteilt ist. Und woher bestimmt die 3 als Paramter?

Danke und liebe Grüße.

Beweis ln (Y) expotentialverteilt und Parameter bestimmen?
Schule, Mathe, rechnen, Dichte, Informatik, Informatiker, Integralrechnung, Statistik, Stochastik, Universität, Verteilung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Beweis, Erwartungswert, ln, Parameter, Analysis 1, Analysis
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Ende des Universums bei dieser Dichte?

Hallo,

ich bereite gerade eine Präsentation für die Schule vor. Mein Thema ist der Urknall und die Entwicklung des Universums. Ich würde gerne was über das Ende des Universums erzählen, aber mir ist etwas unklar:

Ich habe gelesen, dass wenn das Universum eine mittlere Materiedichte hat, die größer ist als die kritische Dichte, wäre ein logisches hypothetisches Ende der Big Crunch.

Dann gibt es noch den Big Freeze, dabei kann die Gravitation der Expansion nicht entgegenwirken. Dabei expandiert das Universum unendlich lang, Strukturen zerfallen. Temperatur nähert sich allmählich dem absoluten Nullpunkt an. Das ist der big Freeze. Ist dabei die tatsächliche mittlere Materiedichte kleiner als die kritische Dichte?

Und wenn die Dunkle Energie viel höher ist als man vermutet, kann die Gravitation wieder nicht der Expansion entgegenwirken und es kommt zu einem Big Rip. Ist hier wieder die Materiedichte kleiner als die kritische Dichte? Oder ist es in dem Fall irrelevant?

Und was passiert bei einem flachen Universum? Wenn also die tatsächliche Materiedichte gleich der kritischen Dichte ist, wie wirkt sich das auf die Expansion und das Ende des Universums aus?

Ich weiß, das Thema ist für die 10te Klasse ein bisschen blöd gewählt, aber ich finde es sehr spannend und würde mich deshalb über verständliche Antworten freuen.

Liebe Grüße,

etacarinae2212

Universum, Astronomie, Astrophysik, Dichte, Dunkle Energie, Kosmologie, Physik, Urknall
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Gewichtsanzeigen einer Waage beim Wiegen verschiedener Gegenstände im Wasserbad - aufsteigende Ordnung nach dem Waagenausschlag?

Hallo liebe Physiker,

es geht um die folgende Aufgabe in unserem Skript, über die ich nun schon länger knobel:

Mein Kommillitone meint, dass (b) den höchsten Waagenausschlag hat, während der Ausschlag in allen anderen vier Fällen gleich sei.

Das würde ich so nicht unterschreiben, bin dabei aber auch sehr unsicher, mein Vorschlag wäre: b > a = c = e > d

Meiner Meinung nach hat (b) ebenfalls den höchsten Ausschlag.

(d) muss den niedrigsten haben, da die Dichte des Holzes halb so groß wie die des Wassers ist und der Holzklotz mit dem Gefäßboden verbunden ist, somit ist er komplett untergetaucht. Das Gesamtvolumen ist also identisch mit dem Gefäß, in dem nur Wasser ist.

(c) und (a) müssen nach dem archimedischen Prinzip eigentlich den selben Ausschlag wie (e) (nur Wasser) haben. Sowohl auf den Eiswürfel als auch auf das Boot wirkt deren Gewichtskraft und eine betragsgleiche, aber entgegengerichtete Auftriebskraft. Diese Auftriebskraft is nach dem archimedischen Prinzip gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers, das läuft aber über, da der Behälter vorher schon randvoll war. Daraus lässt sich schließen, dass die Gewichtskraft der eingetauchten Objekte gleich mit der Gewichtskraft des übergelaufenen Wassers ist.

Mein Vorschlag wäre daher: b > a = c = e > d

Würdet ihr so zustimmen oder was ist euer Vorschlag?

Besten Dank und einen schönen zweiten Advent!

Grüße carbonpilot01

Gewichtsanzeigen einer Waage beim Wiegen verschiedener Gegenstände im Wasserbad - aufsteigende Ordnung nach dem Waagenausschlag?
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