Mikroökonomie Volkswirtschaftslehre optimales Bündel?

Hallo, die Aufgabe lautet:
"Ein Haushalt konsumiert zwei Güter und maximiert seinen Nutzen gemäß der Nutzenfunktion u(x1, x2)=x1*x2. 

Berechnen Sie die nutzenmaximalen Mengen für die Werte Y=140, p1=7, p2=20 "

Die Berechnung sollte wie folgt sein:
grenzrate der substitution=
(du/dx1)/(du/dx2)=x2/x1

dies muss gleich -p1/p2=-7/20 sein
also x2/x1=-7/20

aka x2=(-7/20)*x1

das dann in die budgetgeradengleichung einsetzen:
y=p1*x1+x2*p2
140=7*x1+20*x2

140=7*x1+20*(-7/20)*x1

140=7*x1-7*x1=0

140=0, ist ein widerspruch.

Demnach wäre höchstens zu prüfen ob einer der fälle

x1=0,x2>0 oder x2<0,x2=0 vorliegt.

In den Antwortmöglichkeiten (multiple choice) waren 3 paare gegeben mit positiven Werten, die es logischerweise (siehe widerspruc oben) nicht sein konnten.
Demnach müsste die antwort "keines der 3 antworten" sein .

In der lösung steht hingegen x1=10,x2=3,5.

ich sehe auch ein dass das die budgetgleichung erfüllt und auch ansonsten passt.
aber wie kommt man drauf?

die "normale" methode oben , mit der man die fälle x1>0,x2>0 normalerweise bearbeitet, hat hier zu einem widerspruch geführt.
Schlussfolgerung wäre für mich dass eben kein solches x1>0,x2>0 paa gibt.

ist diese Schlussfolgerung falsch?

oder wäre hier ein ganz anderes vorgehen nötig, um auf x1=10,x2=3,5 zu kommen?

Eine vorgehensweise die mir naiv einfallen würde, aber warum-ach-immer nicht gemacht wird, wäre folgende:

budgetgleichung nach x2 umstellen und in die nutzenfunktion einsetzen.
Damit hängt die nutzenfunktion nur noch von x1 ab.

nun würde ich, zur extremwert bestimmung, ganz billig du/dx1=0 setzen und den x1 wert des maximums finden.
den x2 wert finde ich dann über die anfangsgleichung.
warum funktioniert dieses vorgehen nicht, warum muss ich da über
ableitung der nutzenfunktion=ableitung der budgetgeraden gehen?

Wer kann helfen?

Schule, Mathe, BWL, Mikroökonomie, Volkswirtschaftslehre
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