Optimaler Preis, unvollkommener Markt. Wie löse ich diese Aufgabe?
Hallo,
ich helfe einem angehenden Abiturienten im Fach Wirtschaft. Für die folgende Aufgabe habe ich leider nicht den richtigen Lösungsansatz und auch keine Lösungen, um diese nachzuvollziehen.
Es handelt sich um die Aufgabe 2 im Bild oben. Mein erster Gedankengang war, den Preis aus der vorherigen Aufgabe zu nehmen (8€), diesen in die Nachfragefunktion einzusetzen und die entsprechend Gleichgewichtsnachfrage von der erwünschten Menge abzuziehen. Dadurch habe ich die fehlende Nachfrage erhalten, diese in die Kostenfunktion einsetzen können und auf einen Preis für den günstigeren Burger kommen können.
Dabei wäre mein Ergebnis, dass der Preis für Studenten, Schüler etc. 7€ beträgt und zu diesem Preis eine Menge von 1200 Burgern nachgefragt wird. Zum Ursprungspreis von 8€ werden die anderen 800 nachgefragt, was einen Gesamtverkauf von 2000 Burgern ergibt.
Nun weiß ich nicht, ob es überhaupt legitim ist, den Preis aus der Aufgabe vorher zu nehmen, da sie zwar inhaltlich zusammenhängen, aber durch separate Nummern getrennt sind. Außerdem nannte der Schüler mir eine Vorgehensweise aus dem Unterricht, in dem sie die (so entnehme ich es den Notizen, die ich unten anhefte) Inverse der Preis-Absatz-Funktion bilden, diese ableiten und das dann gleich der Ableitung der Kostenfunktion setzen. Dadurch soll dann der optimale Preis errechnet werden können.
Mit diesem Ansatz komme ich nicht wirklich auf eine Lösung. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mich da in die richtige Richtung leiten könntet.
Vielen Dank
1 Antwort
Nun weiß ich nicht, ob es überhaupt legitim ist, den Preis aus der Aufgabe vorher zu nehmen, da sie zwar inhaltlich zusammenhängen, aber durch separate Nummern getrennt sind.
Eben...deswegen ist es nicht legitim.
Außerdem nannte der Schüler mir eine Vorgehensweise aus dem Unterricht, in dem sie die (so entnehme ich es den Notizen, die ich unten anhefte) Inverse der Preis-Absatz-Funktion bilden, diese ableiten und das dann gleich der Ableitung der Kostenfunktion setzen. Dadurch soll dann der optimale Preis errechnet werden können.
Das wäre das Schema f. Nun ist es aber im Abi manchmal so und erst recht im Studium, dass man eben nicht immer nach Schema f vorgehen kann, sondern erstmal überlegen muss, welche Informationen gegeben sind und wie man einen geeigneten Ansatz selber herleiten kann.
Ob mein Ansatz richtig ist, weiß ich nicht, ließe sich durch eine geschickte Probe aber feststellen.
Entscheidend ist die Info, dass 2000 Stück verkauft werden sollen. Damit stehen die Produktionskosten mit K(2000) = 300 + 4 * 2000 = 12.300,- fest. Diesind vom verkaufspreis und der verteilung der Bürger auf die Preise völlig unabhängig. Daher braucht man auch keine Gewinnfunktion aufzustellen, sondern kann feststellen: maximaler Erlös bringt auch maximalen Gewinn.
Wir betrachten im folgenden also nur noch den Erlös und erleichtern uns damit das Leben:
E = x1 * p1 + x2 * p2
Um das zu optimieren, müssen wir von den 4 Variablen wegkommen. Das schaffen wir mit den weiteren Infos:
1) Absatz-Preisfunktion
2) x1 + x2 = 2000; daraus folgt: x2 = 2000 - x1
Ziel ist es, die Erlösfunktion nur noch in Abhängigkeit von Preis p1 zu haben. Dazu ersetzen wir x1 und x2 durch die Absatz-Preisfunktion:
E = -400p1^2 + (4000 + 400p2)p1 - 2000p1
p2 betrachten wir zunächst als Oarameter und nicht als Variable.
Erlösmaximum für E' = 0:
E' = -800p1 + 4000 + 400 p2 = 0
damit erhalten wir den Zusammenhang zwischen den beiden Preisen von:
p2 = 2p1 - 10
Nun können wir die Rechnung auf die eine Variable p1 reduzieren, indem wir p2 durch den obengefundenen Ausdruck ersetzen:
x1 = 4000 - 400p1
x2 = 4000 - 400(2p1 - 10)
Nun addieren wir beide Gleichungen, denn x1 + x2 = 2000:
4000 - 400p1 + 4000 - 800p1 + 4000 = 2000
p1 = 8,33
und damit:
p2 = 2p1 - 10 = 6,67
daras folgt:
x1 = 668
x2 = 1332
E = 14.448,88
