Sind die ganzen Zahlen ein Vektorraum?

Hallo, ich rechne gerade zum üben allte Klausuren durch.

Wie kann ich die Basis von spann(v1, v2) angeben?

Diese aufgabe der probeklausur unterscheidet sich total von denen aus den übungen. Kann mir da jemand helfen.

Hallo,

Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Untervektorräume.

Die Definition besagt ja dass ein Untervektorraum eine nichtleere Teilmenge U von k-Vektorraum V ist und:

u1,u2 in U => u1+u2 in U
y in K, u in U => y*u in U

Die Definition ist mir eigentlich klar allerdings fällt es mir schwer damit zu arbeiten.

Wie zeige ich jetzt damit, dass eine Menge ein Untervektorraum ist?

zB: Bestimmen sie ob folgende Mengen Untervektorräume sind:

1) {x in R | x1 + x2 = 0}

2) {x in R | x1 + x2 = 1}

3) {x in R | x1 * x2 = 0}

Wie fängt man da am besten an?

Im Lösungsweg steht, dass nur a1 und a2 linear unabhängig sind und nicht die anderen beiden Vektoren. Aber wie kommt man darauf? Denn wenn man auf lineare Unabhängigkeit prüft man doch entweder keine Lösung beim lösen des LGS finden würde oder eine Lösung, dass alle Vektoren linear unabhänig sind. Haben die in der Aufgabe das nur für a1 und a2 geprüft und nicht für die anderen Vektoren oder wie? Und wie kommt man dann drauf welche man prüfen muss?

Hallo,

es geht um die a)

wenn ich eine Basis dazu bestimmen sollte, brauche ich ja drei linear unabhängige Vektoren, weil das ein dreidimensionaler Vektorraum ist, also TpZ.

Stimmt das und wie finde ich die allgemein?

Hallo,

Ich denke, dass es die Kardinalität dieser Teilmenge 3 ist, denn:

Nach welcher Logik wählt WolframAlpha die Basisvektoren aus?

Hallo Leute,
wir nehmen gerade in der Vorlesung das Kern und Bild von linearen Abbildungen durch. Diese beschreiben ja etwa das folgende:

img(f) := alle Vektoren, die etwas unter L abbilden
ker(f) := alle Vektoren, die sich unter L auf die 0 abbilden

Meine Frage ist folgende:
Würde das nicht bedeuten, dass der Kern von L immer eine Teilmenge vom Bild von L ist? Dieser Zusammenhang wird nie erwähnt, weswegen ich glaube, dass ich einen Verständnisfehler habe und Kern und Bild nicht disjunkt sind.

Könnte mich jemand darüber aufklären?

MfG

Hi leute, habe folgende aufgabe bekommen.. kann mir jemand helfen ?

Ich soll prüfen, ob nemenge von f(x)=sin(bx) einen vektorraum bildet...

um das herauszufinden muss ich die funktion mit den gesetzen der addition und der skalarmultiplikation prüfen (sind insgesamt 10 Gesetze)

Für Vektoren und Matrizen hab ichs hinbekommen aber wie macht man das bei sinusfunktionen ???

ich scheiter schon beim 1. Gesetz: Abgeschlossenheit .. also dass wenn man 2 sinusfunktionen addiert wieder ne sinusfunktion raus kommt..

Sin(bx) + sin(cx) : lässt sich ja nicht zusammenfassen... das heißt doch, dass es schon nicht beim ersten scheitert... also ist die sinusfunktion kein vektorraum ??

hoffe jemand kann mir helfen^^

mfg otti

Wie zeige ich dass der Zahlenraum Z kein Q-Vektorraum ist?

Hallo, könnte mir jemand erklären, wie man auf den Eckpunkt C kommt, wie in der Aufgabe beschrieben. Danke im Voraus😃

Hallo,

Ich habe probleme bezüglich der Variablen q und r, ich weiß nicht für was diese stehen (2te und 3te Frage)

Ich habe diese Aufgabe:

Mir sind die Untervektorraumkiterien bekannt, aber ich verstehe den Ansatz der Aufgabe nicht ganz.
Der Nullvektor (bzw hier die Nullmatrix) liegt eindeutig vor (Multiplikation mit 0 ist theoretisch gesehen bei Matrizen kommutativ ?).

Nur weiß ich nicht wie ich weitermachen soll. In der Aufgabe steht: "fest vorgegeben matrix". Was heißt das ? Soll ich mir eine Matrix M suchen , die in R^nxn liegt und dann ebenfalls eine A finden die das Additions und Skalarkriterium erfüllen ?

Oder soll man allgemeiner an die Aufgabe rangehen ?

Ich verstehe einfach nicht, was dieses "Wir setzen V/U = V/~" bedeuten soll und wie diese Operationen definiert sind. Ich habe herausgefunden, dass V/~ für die Menge der Äquivalenzklassen steht. [v]~ steht für die Äquivalenzklasse von v und die Menge besteht aus allen w€V, für die ein u€U existiert, sodass w+u=v, also:

[v]~ = {w€V | ∃u€U: w+u=v}

So, ich hab mir das jetzt einfach mal wie folgt vorgestellt: Sagen wir mal, U ist ein echter Unterraum von V und V sei jetzt einfach mal IR³. U ist jetzt einfach mal IR², also ein echter Unterraum von V, man könnte sich U also quasi wie die xy Ebene vorstellen im IR³. Jetzt sind zwei Elemente aus V (also IR³) genau dann in einer Relation, wenn sie in einer Ebene liegen, die parallel zur "U-Ebene" ist. Somit ist die Menge [v]~ für jedes v€V unendlich groß (richtig?).

V/~ ist nun also einfach die Menge dieser Äquivalenzklassen. Aber was heißt dieses "Wir setzen V/U = V/~"? V ohne U ist erstmal bloss eine Menge von Vektoren, V/~ hingegen ist eine Menge von Mengen mit Vektoren, wo macht das also Sinn??

Außerdem, wie kann ich mir diese Operationen denn genau vorstellen? Hier werden auch wieder zwei ganze Mengen addiert und nicht einfach zwei beliebige Elemente, ich checke es einfach nicht. Wäre jemand so nett und erklärt mir das in einfachen Worten? :(

Hey, ich habe folgende Aufgabe:

mit a) bin ich fertig.

Bei b) verstehe ich leider gar nicht so was zu tun ist. Was sind Basen im Raum der Polynome? Und woher weiß ich welche sinvoll zu verwenden sind?

Ich hätte vermutet, dass { x^n, x^(n-1), ... , x³, x², x, 1} eine Basis ist, aber das ist auch die einzige die mir einfallen würde. Und kann man diese irgendwie schöner aufschreiben?

Im nächsten Teil soll ich ja die Transformationsmatrix finden. Wie kann ich mir diese Vorstellen ? Stehen da einfach nur Zahlen drin wie bei einer gewöhnlichen matrix, oder jetzt auch Polynome?
Wie komme ich auf diese Matrix, wenn ich meine beiden Basen gefunden habe?

Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe!
LG AwakenedChild

Das ist die Aufgabe. Die Dimension ist ja die Anzahl der Vektoren in der Basis, aber ich weiß nicht wie ich auf die Basis komme.

Moin
Ich habe mal kurz 2 Fragen zu Untervektorräumen:
1.) Die Gerade g: x = (0, 1) + t(1, 1) ist doch kein Untervektorraum des ℝ², weil der Nullvektor nicht Teil der Menge ist. Die Gleichung (0, 0) = (0, 1) + t(1, 1) ist also nicht lösbar. Stimmt das?

2.) Wenn ich jetzt z.B die Menge { x(1, 1) | x ∈ ℝ } habe, gilt ja die erste Bedingung zur Überprüfung eines Untervektorraumes. Der Nullvektor ist also Teil der Menge, da wir für x = 0 den Vektor (0, 0 ) bekommen. Jetzt muss ich diese Menge jedoch noch auf Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition und skalarer Multiplikation überprüfen, um sagen zu können, ob es sich hier um einen Untervektorraum des ℝ² handelt. Das funktioniert ja quasi in Form eines "Beweises". Wie würde dieser "Beweis" denn aussehen? Ich wüsste jetzt nicht konkret, wie ich zeigen sollte, dass die beiden Kriterien bezüglich der Menge erfüllt sind.

Hallo, ich hänge an folgender Aufgabe:

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Es bezeichne 1 das Einselement und 0 das Nullelement in K. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage.

i) Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins bezüglich der Verknüpfungen in K und es gelte K⊆ R. Dann ist R ein K-Vektorraum.

Ich frage mich wie K⊆ R gelten kann, da K insbesondere ein Integritätsring ist und R nicht zwangsläufig. Wie soll ich hier vorgehen mit dem Beweis?

Danke für eure Antworten!

Mir kommen folgende Unklarheiten:

1. warum hat das lineare Gleichungssystem in a) zwei Spalten? Laut Definition ist die Lösungsmenge ein Untervektorraum wenn A * x = b für b=0 gibt. reicht da nicht schon eine Spalte?
2. warum kann man bei b nicht einfach gleich argumentieren? Also für a * x = b einfach meinen das x_1, x_2 & x_3 = 0 ist und daher auch b = 0

Was bedeuted das "hoch T" über dem Tupel? und wie würde man b) geometrisch inerpretieren- etwa R3 ohne den positiven Quadranten oder wie das in R3 heißt?

Hallo,

ich würde sagen ja, denn die Summe zweier irrationaler Zahlen ist ja immer noch irrational. Außerdem ist jede irrationale Zahl auch mal einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl.

Lässt sich das aber irgendwie "mathematischer" zeigen?

Ich habe einen R^3 Vektorraum mit 3 Vektoren die die Basis bilden.

Jetzt muss ich einen weiteren Vektor suchen, um auf die Dimension R^4 zu kommen. Der muss ja logischerweise also linear unabhängig sein von den anderen 3 Vektoren.

Das Problem:

Ich habe mal den Vektor v4=(1,0,0,0) genommen und auf lineare Unabhängigkeit überprüft (mit Hilfe eines Gleichungssystems). Ich habe allerdings zu jedem Koeffizient eine eindeutige Lösung gefunden, um v4 abbilden zu können. Setze ich meine Lösung jetzt ein, kommt allerdings nicht v4 raus sondern etwas anderes.

Mein Gleichungssystem ist aber ganz sicher korrekt gelöst worden.

Was bedeutet das jetzt oder gibt es eine andere Möglichkeit um einen linearen Unabhängigen Vektor zu finden?

Moin,

gegeben ist folgender Unterraum W = {(a,b,c) : a>= 0} von V = R^3.

Ich prüfe nun den Unterraum, ob er bzgl. der Operationen auf V abgeschlossen ist. Dies ist natürlich für die skalare Multiplikation nicht der Fall (sollte das Skalar < 0 sein).

Soweit ist mir das Vorgehen klar, aber könnte man hier auch damit argumentieren, dass W bzgl. der elementweisen Addition kein Inverses Element besitzt, also wenn a nicht gerade 0 ist?

Allgemein: Gibt es eigentlich Fälle wo zwar die Operationen nur Elemente aus W liefern, aber die Vektorraum Axiome nicht erfüllt sind?

Sei A und B Vektorräume über einem Körper K.

Sei A=<a> und sein B=<b>.

Ist es dann formal richtig, zu schreiben:

<a>+<b>=<a,b>=A+B

Also (0,0,1) , (2,0,3) und (0,1,1) seien linear unabhängig, da hat man das gemacht:

Checke nur nicht, was das hier soll? Hat man sich hier vielleicht verschrieben allein lambda_2*2 oder sogar minus 2, keine Ahnung was soll das?

woher kommen diese Faktoren bei den Lambads?

Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgenden Fragen:

• Wieso ist ein Unterraum der Definitionsmenge erzeugt von den Zeilenvektoren einer Matrix?
• Wieso ist die Dimension des Homomorphismus(V,W) Vektorraum gleich der Dimension der Spaltenvektoren plus die der Zeilenvektoren ( es gilt doch auch dim V * dim W = dim Hom(V,W), denn dann müsste die Matrix ja vollen Rang haben, dass ist aber nicht zwangsweise so?)? Also warum ist die Dimension der Matrix gleich die Anzahl der Spalten mal die der Zeilen?
• Ich hätte mir den Vektorraum des Homomorphismuses von V und W so vorgestellt, dass alle Operationen über den Funktionswert laufen (ist ja so auch definiert), müsste dann nicht eigentlich die Dimension des Homomorphismuses gleich der des Vektorraums W sein, da ja die Funktionswerte in W sind?

Über Antworten auf meine Fragen würde ich mich sehr freuen!!

Hallo allerseits. Ich stehe gerade ein klein wenig auf dem Schlauch. Und zwar suche ich nach einer Möglichkeit, zu einer Menge V, von der man weiß, dass es sich um einen endlich erzeugten Vektorraum handelt, eine Basis zu bestimmen.

Wenn V nun eine Menge ist, die man sich halbwegs "vorstellen kann", erkennt man ja häufig, wie eine Basis aussehen könnte und muss dann nur noch beweisen, dass es tatsächlich eine ist (z.B. über lineare Unabhängigkeit und das Erzeugendensystem).

Was mache ich aber nun, wenn ich mir die Menge V einfach nicht so richtig vorstellen kann und es mir deshalb nicht gelingt, mir eine Basis auszudenken. Vielleicht kenne ich ja noch nichtmal die Dimension des Vektorraums und weiß nichtmal, wieviel Basisvektoren ich eigentlich suche? Gibt es dann ein bestimmtes Vorgehen, dass mich direkt zu einer Basis bringt?

Meine beste Idee wäre es jetzt gewesen, ein paar Vektoren aus V zu nehmen und zu prüfen, ob sie ein Erzeugendensystem bilden. Wenn dem nicht so ist, ergänzen ich immer weiter mit zufälligen Vektoren aus V und hoffe, dass ich irgendwann eine Teilmenge von V habe, die ein Erzeugendensystem vom V bildet. Anschließend würde ich dann solange linear abhängige Vektoren aus der Menge streichen, bis ich eine linear unabhängige Teilmenge von V habe. Das wäre dann meine Basis. Wenn V nun aber eine echt komplizierte Menge ist und vielleicht eine hohe Dimension hat, ist diese Herangehensweise aber doch sehr ineffizient. Deshalb suche ich nach eine Verfahren, um möglichst direkt eine Basis bestimmen zu können.

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Hallo!

Folgende Definition wird mir nicht 100%ig klar:

[Definition: Sei V eine Menge, dann nenne ich |V| die Anzahl der Elemente in V]

So ich hab das Produkt der Vektorräume V_i schon fasst verstanden... denke ich... Ich nehme jeweils aus jedem dieser Vektorräume V_i ein Element bzw. ein Vektor raus. dann habe ich |I| viele Vektoren, welche ich alle zusammen fasse in eine Familie. Das mach ich dann |V_i| mal würde ich sagen und habe dann eben |V_i| Familien, welche eben dann das Produkt der Vektorräume V_i bilden. Ist da soweit richtig verstanden worden? Was passiert, wenn die V_i untereinander nicht gleichmächtig sind? Muss nicht noch bedingt sein, dass die V_i untereinander jeweils isomorph zueinander sind?

Als Beispiel nehme ich mal die reellen Zahlen R=V_1=V_2=...=V_(p-1) mit p<oo und irgendeinen endlichen Körper, ich nenne ihn mal W und nehme W^3:=V_p mit |W|<p. Jetzt nehme ich für das Beispiel eine Indexmenge I=1,...,p, also |I|=p. Was nun? Bilde ich nun das Produkt dieser drei Vektorräume, gehen mir doch irgendwann die Vektoren aus V_p aus... Nun gibt es für mich drei Möglichkeiten:

1und2) Es gibt ein P aus I mit P<p oder genauer sogar P=|W|, sodass ab diesem P (bzw. sodass für alle i aus I mit i>P)...

a) ... die Familien nur noch aus p-1 Vektoren gebildet werden. (also keine mehr aus W^3=V_p)

b) ... keine Familien mehr gebildet werden. Also nicht alle Elemente der Vektorräume V_1,...,V_p für die "Familienbildung" genutzt werden.

3) Ich liege komplett falsch und habe alles falsch verstanden. Kann sehr gut passieren....

Wäre super, wenn jemand mich etwas aufklären könnte. Ich verstehe eben nicht ganz genau, was passiert, wenn die Vektorräume, dessen Produkt ich hier bilden will, nicht die gleiche Anzahl an Elementen haben. Bzw. was genau passiert, wenn einer dieser Vektorräume eine kleiner Anzahl an Elementen hat, als die Anzahl an Vektorräumen von welchen wir das Produkt bilden wollen.

VIELEN DANK UND LIEBE GRÜßE!

Hallo.

Ist meine Herangehensweise richtig? Wenn ich folgende Vektoren habe:

benötige ich ja lediglich die "Einheitsvektoren"

(t² -1 0 0) --> (1 0 0 0) und (0 1 0 0)

(0 -2 t 0) --> (0 1 0 0) und (0 0 1 0)

( 0 1 2 3 ) --> (0 1 0 0) und ( 0 0 1 0) und ( 0 0 0 1)

(0 0 3 3 ) --> ( 0 0 1 0) und ( 0 0 0 1)

Somit brauche ich nach meiner Denkweise nur das Maximum der Einheitsvektoren zu betrachten ( in meinem Fall bei ( 0 -2 t 0)), welches dann 3 Einheistvektoren ergibt. Und diese 3 Einheitsvektoren schließen dann auf die 3. Dimension..

IST DAS RICHTIG?

Vielen Dank :)

1. Seien V und W zwei K-Vektorräume, Φ ∈ Hom(V,W) und μ ∈ K. Wie kann ich zeigen, dass μ*Φ ∈ Hom(V,W).

Ich brauche Hilfe bei dem Beweis zur Eigenschaft 2, 3 und 4. Ich finde im Internet leider keinen Beweis zu diesen Eigenschaften. Könnte mir jemand sagen, wie der Beweis dazu aussieht?

Also was soll hier kleinste sein, die Anzahl der Elemente vom Untervektorraum?

Hallo, alle. Ich hätte eine Frage bezüglich einer Matheaufgabe. Wäre bitte jemand so nett und würde mir helfen? Sie lautet so:

"Gegeben ist f, ein Endomorphismus von IR^4, das folgendermaßen definiert ist:

f ist eine Projektion auf eine Hyperebene, gefolgt von einer Homothetie. Frage: Was ist das homothetische Verhältnis?" In anderen Worten, um wie viel wird hier vergrößert/verkleinert?

(Falls dies hilft, man kann die vierte Gleichung oben im Bild mithilfe von einer Linearkombination der anderen drei bekommen.)

Könnte mir jemand bitte helfen? Ich weiß hier leider nicht weiter…

Vielen Dank im Voraus!

Hey, ich bin hier fast am ausrasten.

ich versuche schon die ganze herauszufinden was ich hier verdammt noch falsch mache. Ich soll mit zwei Koordinatengleichungen den Winkel bestimmen, aber warum auch immer bekomme ich nicht die selben Ergebnisse wie es in der Lösung steht..

Meine Rechnung

Lösung

Ich habe auch im Internet nach Rechnern geschaut und die bekommen die selben Ergebnisse wie in der Lösung. Also die Lösung ist eigentlich richtig (hätte ja sein können das die Lösung falsch wäre)

Ich habe auch natürlich geschaut wie man sowas generell berechnet und ich habe genau das getan was da stand, aber trotzdem sind meine Ergebnisse falsch! Ich sollte eigentlich 8/33 raus bekommen aber ich bekomme die ganze Zeit 6/(Wurzel 66) * (Wurzel 16) raus. Aber ich bekomme nie den Zähler die 8 raus.

hab ich irgendwas vergessen oder verschrieben oder so? Oder kann mich das Universum einfach nicht leiden?!

Ich würde mich auf eure Antworten freuen

Man muss beweisen auf welchem Vektorrarum ein Skalarpodukt abgebildet wird:

Folgende Lösung und ich verstehe nicht warum f(t0) * f(t0) = 0 sein soll? Und was bringt überhaupt zu beweisen das es gleich null ist die postive definitiheit wird doch durch <f,f> > 0 bewiesen und nicht = 0.

Wie geht das?
Kann mir jemand die Aufgabe a) erklären?
Wäre echt sehr hilfreich und nett.

Hi, bei folgender Aufgabe ist die Rotation = 0, aber:

1. Das geschlossene Kurvenintegral der c) liefert 4*pi*I/c, nicht null.
2. Magnetfelder sind Wirbel.

Wie kann das sein?

Danke für Hilfe im Vorraus!