Wie bestimme ich die Dimension dieser Untervektorräume?
Das ist die Aufgabe. Die Dimension ist ja die Anzahl der Vektoren in der Basis, aber ich weiß nicht wie ich auf die Basis komme.
2 Antworten
Hallo,
vielleicht hilft es Dir für die Anschauung, Dir zunächst als Körper die reellen Zahlen und n = 2 zu wählen. Dort ist U1 eine Linie, definiert durch a * (1; 1), und U2 ist eine Hyperebene (also hier auch eine Linie), definiert durch a1 + a2 = 0 <=> a1 = -a2 oder auch y = -x wenn man andere Buchstaben verwendet. Die Elemente von U2 haben dann die Koordinaten (x ; y) = (x ; -x) = x * (1 ; -1).
Setzt man n=3, bleibt U1 eine Linie, definiert durch a * (1 ; 1 ; 1). U2 ist jetzt eine Ebene im Raum, definiert durch a1 + a2 + a3 = 0 oder auch x + y + z = 0. Die Elemente von U2 haben nun die Koordinaten (x ; y ; z) = (x ; y ; -x -y) =x (1 ; 0 ; -1) + y (0 ; 1 ; -1)
Diese Struktur ist auch bei anderen, allgemeinen Vektorräumen gegeben und man kann dort analog argumentieren. dimU1 ist also 1, dimU2 ist n-1 und die Basisvektoren sehen aus wie in den obigen Beispielen.
Ich hoffe, diese Gedanken helfen Dir weiter.
Viel Erfolg!
1) Ich würde zunächst den Fall n=1 erledigen:
Basis für U1 ist (1), Dimension 1
U2 ist der Nullraum
2) Jetzt zu n>1:
Basis für U1 ist (1, ..., 1), Dimension 1
Basis für U2 sind (1, 0, ..., 0, -1), (0, 1, 0,..., 0, -1), .... (0, 0, ....., 1, -1). Dimension n-1
2.1) Charakteristik 0:
U1 n U2 ist der Nullraum
U1 + U2 ist K^n
2.2) Charakteristik p prim
2.2.1) p teilt nicht n
U1 n U2 ist der Nullraum
U1 + U2 ist K^n
2.2.2) p teilt n
(1, ...., 1 ) ist auch Element von U2
U1 n U2 = U1
U1 + U2 = U2
Wenn U1 n U2 der Nullraum ist, dann muss die Summe der beiden Unterräume mit Dimension 1 bzw n-1 die Dimension n haben, also gleich K^n sein.
Da der Schnitt der beiden der Nullraum ist, hat ihre Summe die Dimension 1 + (n-1) = n, muss also gleich k^n sein.
Da der Schnitt der beiden der Nullraum ist, hat ihre Summe die Dimension 1 + (n-1), muss also gleich K sein.
Die Summe beider Dimensionen gibt n, und da sie den Nullraum als Schnitt haben, ist das auch die Dimension der Summe.
Da der Schnitt der Nulltraum ist darf man die Dimensionen addieren, das gibt n und damit muss die Summe gleich K^n sein.
Da der Schnitt der Nullraum ist, darf man die Dimensionen addieren, das gibt n und damit muss die Summe gleich K^n sein.
Hat mir sehr weitergeholfen, vielen Dank. Nur noch eine Sache, wie zeige ich, dass U1+U2=K^n für Charakteristik 0?