Basis und Dimensionen eines Unterraums bestimmen?
Moin,
ich habe leider keine Ahnung wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll und würde mich über Hilfe freuen.
VG
1 Antwort
Wir berechnen eine Basis für U.
3 x1 + x3 – x4 = 2 x2
ist äquivalent zu
(3, 3, –1, –2) • (x1, x2, x3, x4) = 0
Hier sehen wir sofort, dass alle Vektoren in U orthogonal zu (3, 3, –1, –2) sein müssen. Somit muss die Dimension drei sein.
Wir raten: In U liegt (1, –1, 2, –1). Das ist unser erster Basisvektor. Für den zweiten Basisvektor können wir mit
3 b1 + 3 b2 – b3 – 2 b4 = 0
b1 – b2 + 2 b3 – b4 = 0
ansätzen. In dieses Gleichungssystem können wir einfach b1 = 1 und b2 = 2 einsetzen und erhalten daraus
b3 + 2 b4 = 9
2 b3 – b4 = 1
mit der Lösung b1 = 11/5 und b2 = 17/5
Also ist (1, 2, 11/5, 17/5) ein zweiter Basisvektor. Für den dritten setzen wir genauso an (jetzt ist nur eine weitere Gleichung vorhanden). Wenn wir b1 = 3 setzen, erhalten wir das Gleichungssystem
3 b2 – b3 – 2 b4 = –9
–b2 + 2 b3 – b4 = –3
2 b2 + 11/5 b3 + 17/5 b4 = –3
mit der Lösung b2 = –93/38, b3 = –351/190, b4 = 333/190.
Wir haben nun unsere drei Basisvektoren, alsi unsere Basis {(–1, 1, 2, –1), (1, 2, 11/5, 17/5), (3, –93/38, –351/190, 333/190)}.
Man nennt dies auch ein Orthogonalsystem bzw. eine Orthogonalbasis. Wir haben nämlich vorausgesetzt, dass die Skalarprodukte paarweise null sind. Für eine Basis ist die lineare Unabhängigkeit aber hinreichend.
Bei b) kannst du ähnlich vorgehen.