Komplementären Unterraum bestimmen?
Hallo. Ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht, wie man das macht. Kann mir jemand helfen?
Geben Sie einen komplementären Unterraum zu dem Unterraum
U = [(1; 2; 1; 0); (0; 1; 2; 1); (1; 1;-1;-1)] Teilmenge von R4
an. (Anders formuliert, finden Sie einen Untervektorraum W Teilmenge von R4, s.d. R4 = U direkte Summe W.)
1 Antwort
Zuerst bestimmst du mal die Dimension von U, denn es gilt:
dim(R^4)=dim(U)+dim(W),
falls R^4 die direkte Summe von U und W ist.
Dann weißt du von wie vielen Basisvektoren W aufgespannt wird. Diese müssen so gewählt werden, dass der Schnitt von U und W nur den Nullvektor enthält.
Die Dimension von U bestimmst du, indem du überprüfst, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind. Finde also eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors aus den drei Vektoren. Falls es eine gibt, dann lässt du einen Vektor raus und überprüfst, ob die verbliebenen wieder linear unabhängig sind. Falls es keine gibt ist die Dimension 3.
Als Basisvektoren von W würde ich mir mal die Einheitsvektoren anschauen.
Ja das ist ein möglicher Weg. Jetzt musst du nur noch 2 Basisvektoren w1, w2 für W finden so, dass die vier Vektoren w1, w2, I und II linear unabhängig sind.
Da würde es schon Methodeb geben. Am einfachsten ist es aber in diesem Fall, sich zwei der 4 Einheitsvektoren im R^4 zu wählen. Dann einfach die lineare Unabhängigkeit nachzurechnen.
danke, aber könntest du es bitte noch etwas genauer erklären und mir sagen, wie man das macht