Schwerpunkt und Abstandsquadrate?
Hallo, habe Probleme mit dieser Aufgabe:
Zeigen Sie: Der Schwerpunkt S eines Dreiecks eines Dreiecks ABC minimiert die „Summe der Abstandsquadrate zu den drei Punkten A, B, C“ bzw. anders ausgedrückt (X—A)^2 + (X—B)^2 + (X—C)^2.
Mein Ansatz: Die Summe funktional beschreiben mit der Unbekannten X (Element R2) und einfach ableiten. Ich weiß aber nicht, ob das erlaubt ist.
2 Antworten
Die äußere Summe ist minimal, wenn jeder Summand minimal ist, weil jeder Summand nur von einer Komponente von X abhängt. Jeder Summand ist eine quadratische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten. Aus der Scheitelpunktform lässt sich der Minimierer direkt ablesen.
Warum solltest du es nicht machen dürfen (zumindest wenn ihr das Verfahren schon hattet)?
Du musst aber dann begründen, warum der Schwerpunkt dann tatsächlich ein Minimieter ist (dass der Gradient 0 ist ist ja nur notwendig, nicht hinreichend).
Alternativ kannst du versuchen, die Funktion so umzuformen, sodass man sieht, dass das Minimum am Schwerpunkt ist.
Na, dann Ziehe doch deinen zweiten Ausdruck auseinander und fasse den so zusammen, sodass du deine Uersprüngliche Funktion erhälst.
X^2 — 2SX + S^2 , aber warum soll dieser Ausdruck minimiert Äquivalent zu oben sein? Das verstehe ich nicht wie man das herleitet
Nun ja, du kannst nun S durch die Definition von S austauschen, und es noch weiter auseinander ziehen.
Ziehe den Ausdruck vollständig auseinander und fasse den dann so zusammen, sodass du den Ursprünglichen Ausdruck erhälst.
<==> (X^2 — 2AX + A^2) + (X^2 — 2BX + B^2) + (X^2 —CX + C^2) <==> 3X^2 — 2(A+B+C)X + A^2 + B^2 + C^2 Wie gehts weiter?
Versuche es erst selber: Potenzen von X zusammenfassen, quadratische Ergänzung.
Nein das hatten wir noch nicht. Man soll begründen, warum es äquivalent zu (X—S)^2 — S^2 ist…