Basis von spann angeben?
Hallo, ich rechne gerade zum üben allte Klausuren durch.
Wie kann ich die Basis von spann(v1, v2) angeben?
4 Antworten
In jedem Fall ist (v1, v2) ein Erzeugendensystem von spann(v1, v2) [wenn dir das unklar ist, musst du unbedingt auffrischen, was die Begriffe "Spann" und "Erzeugendensystem" überhaupt bedeuten]. Wenn sie linear unabhängig sind, sind sie somit eine Basis.
Wenn sie nicht linear unabhängig sind, dann lässt sich einer der beiden Vektoren als Linearkombination des anderen schreiben. Den kannst du also aus dem Erzeugendensystem entfernen, ohne den Spann zu ändern.
Beispiel: Wenn v1 = a * v2 gilt für irgendeine komplexe Zahl a, dann ist
spann(v1,v2) = spann(v2). Also wäre bereits (v2) ein Erzeugendensystem des Spanns. Wenn dieses linear unabhängig ist, ist es eine Basis. Ansonsten kannst du wieder einen Vektor entfernen usw...
c) i.
Sei a,b aus R.
dann ist
a*v1+b*v2=0
was die Gleichungen bringt:
a*i-1*b=0
a*1+b*i=0
in der ersten gleichung muss der imaginärteil, lso a, gleich 0 sein.
Und auch der realteil, -, ebenfalls gleich 0 sein.
gleiches folgt aus der 2. gleichung.
darum müssen a=b=0 sein.
Offenbar ist i*v1=v2 und somit sind sie linear abhängig. Span(v1,v2)= Span(v1), da v2 in span(v1) liegt. {v1} ist die Basis.
Sofern sie linear unabhängig sind (i.), musst du nur einen weiteren linear unabhängigen finden, der zugleich mit v1 und v2 ein Erzeugendensystem liefert, also dass jeder Vektor (x1 x2 x3) aus C erzeugbar ist.