Exponential Funktion geht nicht?
S Leute,
eine Mathematik Frage, eine exponentielle Funktion
f(x)=-3^x
In GeoGebra ergibt es dieses Schaubild. Aber das funktioniert nicht weil sich die Vorzeichen ständig ändern. Und bei Exponenten Brüche mit negativer Basis kommt man auch nicht weit. Nichts geht mehr.
Versteh ich da etwas falsch?
Bitte Hilllfffe
Danke
Zusatzfrage -2^0 ergibt doch auch 1 und nicht -1 oder?
5 Antworten
Du stellst eine deutliche komplexere Frage, als dir wahrscheinlich bewusst ist. Ich hoffe, ich übertreibe es nicht mit meiner Antwort.
Erstens zur Schreibregel, reine Definitionssache: Die Potenz hat Vorrang vor dem Vorzeichen, also -a^4 = -(a^4).
In diesem Sinne ist die gezeigte Grafik korrekt, sie stellt f(x) = -(3^x) dar.
Kurz zur Zusatzfrage: -(2^0) = -1, weil die Potenz zuerst ausgeführt wird. (-2)^0 ist in Menge R nicht definiert, aber in Menge Z gleich 1.
Damit sollte jetzt deine Frage zu "weil sich die Vorzeichen ständig ändern" beantwortet sein: Nein, das Vorzeichen ändert sich nicht, weil es ja VOR der Potenz steht, also -(3^x) dargestellt ist und nicht das gar nicht definierte (-3)^x.
Nun noch die weitergehende Frage, warum (-3)^x in Menge R nicht definiert ist: Dies liegt daran, dass gebrochenzahlige Exponenten wie 1/2 ja Wurzeln entsprechen und Wurzeln aus negativen Zahlen in R nicht definiert sind.
Ganz Fortgeschrittene können aber in der Menge C der komplexen Zahlen sowohl negative Wurzeln als auch Potenzen mit negativer Basis verwenden.
Zusatzfrage -2^0 ergibt doch auch 1 und nicht -1 oder?
Das ist eine gute Frage, die du dir selbst beantworten kannst. Es gibt -1, da dieses ^0 sich nur auf die 2 bezieht. Also -1* 2^0
es würde 1 ergeben, wenn du es so schreiben würdest. (-2)^0 = 1, man setzt nicht ohne Grund gerne Klammern bei negativen Zahlen, da muss man natürlich aufpassen, was man aussagen will.
Zwecks Eindeutigkeit sagt man dann wenn keine Klammer steht, das sich etwas nur auf die Basis davor bezieht und nicht auf alle Produkte einer Multiplikation.
5x², da sagst du ja auch nicht dass das 25x² sei, weil dieses ² sich nur auf das x bezieht!
Das Schaubild der Exponentialfunktion, sieht für mich gut aus.
Hallo SkinnyF,
die Darstellung ist völlig korrekt, weil Potenzierung vor Punktrechnung vor Strichreichung (hier: das Minuszeichen) kommt. Daher ist −3ˣ als −(3ˣ) und nicht etwa als (−3)ˣ zu lesen.
Letzteres ist ohnehin erst in den Komplexen Zahlen zu verstehen; das sind Summen aus gewöhnlichen Reellen Zahlen und solchen, deren Quadrat negativ ist.
EULER fand im 18. Jahrhundert die Formel
(1) eˣ = cos(x) + i∙sin(x),
wobei eben i² = −1 ist.
Abb. 1: Die Zahl i und ihre Potenzen liegen alle auf einem Einheitskreis.
Mit Hilfe von 1 lässt sich −1 als ei∙π schreiben, da der Phasenwinkel eben π bzw. 180° ist. Damit ist −3 als ei∙π∙ln(3) darstellbar, und so ist
(2) (−3)x = ei∙π∙ln(3)∙x
Die meisten Werte sind nicht reel, es gibt nur einzelne Punkte, wo die Funktion reelle Werte annimmt.
Abb. 2: Die komplexen Funktionswerte von (−3) x
Vorsicht (-2)^0 = 1 -2^0 = -(2^0)=-(1) = -1
Das - das du hier stehen hast bezieht sich nämlich auf die gesamte Funktion und das Hoch x nur auf die 3 ohne das Minus.
Der Graph der Funktion -3^x stimmt so. (-3)^x wäre natürlich wieder was anderes.
Du solltest unmissverständlicher schreiben. Die Zeile
(-2)^0 = 1 -2^0 = -(2^0)=-(1) = -1
ist recht missverständlich. Es sollte besser heißen:
"(-2)^0 = 1,
aber
-2^0 = -(2^0) = -1"
oder
"(−2)⁰ = 1,
aber
−2⁰ = −(2⁰) = −1"
(ich benutze alles, was Unicode hergibt).
Ja ich hätts in zwei Zeilen aufteilen können, wobei ich das beim schreiben meiner Antwort nicht getan habe.
Normal mach ich es hier hab ichs nicht gemacht.
Was meinst du mit ,,die Vorzeichen ändern sich ständig"?
Bei (-3)^x hat man im reellen (und auch im Komplexen) alternierende Vorzeichen.
Man kann den Realteil auch als 3^x*cos(pi*x) schreiben.
Aber genau das hat er eben nicht getan, sondern nur -3^x geschrieben. Das bedeutet, dass es keine alternierende Vorzeichen gibt, da nicht die -3, sondern die 3 potenziert wird.
Ich hätte seine Frage so verstanden, dass er sich eben alternierende Vorzeichen erwartet hätte (wie es eben bei (-3)^n der Fall ist). Aber Geogebra hat ihm aufgrund der falschen Schreibweise keine alternierenden Vorzeichen angezeigt und er war darum verwirrt und hat gedacht, dass Geogebra nicht funktioniert.
Ich würde auch tippen dass er die erwähnten Brüche als 1/3^x oder dergleichen anschreibt und eigentlichen (1/3)^x meint.
Allerdings gibts da ja auch das Problem, dass (-3)^x im reelen gar nicht definiert ist sondern erst im Komplexen, aber der Realteil natürlich dann alternierende Vorzeichen hat, wie ich oben geschrieben habe.
Nein, −(2⁰) wäre −1,
(−2)⁰ := (−2)¹⁄(−2) = 1 (Porenzgesetze!).
Sonst hast Du Recht: Potenzieren vor "Punktrechnung" vor "Strichrechnung", zu der das Minuszeichen zählt, also ist −3ˣ = −(3ˣ), nicht (−3)ˣ.