Exponentielle Gleichung lösen mit Lambertsche W Funktion?

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4 Antworten

Ich persönlich würde es anders machen.

500 +100 * x = 32 ^ x

x = ln(500 + 100 * x) / ln(32) | * ln(32)

x * ln(32) = ln(500 + 100 * x) | e ^ ...

e ^ (x * ln(32)) = 500 + 100 * x | -500

e ^ (x * ln(32)) - 500 = 100 * x | - 100 * x

e ^ (x * ln(32)) - 500 - 100 * x = 0

Nun führst du eine Hilfsfunktion ein -->

f(x) = e ^ (x * ln(32)) - 500 - 100 * x

Von dieser Funktion bestimmst du nun die Nullstellen.

Erst mal stellst du eine Wertetabelle auf -->

x | f(x)

-10 | 5,000
-9 | 4,000
-8 | 3,000
-7 | 2,000
-6 | 1,000
-5 | 0,000
-4 | -1,000
-3 | -2,000
-2 | -3,000
-1 | -4,000
0 | -4,990
1 | -5,680
2 | 3,240
3 | 319,680
4 | 10.476,760
5 | 335.534,320
6 | 10.737.407,240
7 | 343.597.371,684
8 | 10.995.116.264,891
9 | 351.843.720.879,040
10 | 11.258.999.068.579,088

Eine Lösung kannst du direkt ablesen bei x = -5

Eine andere Lösung liegt zwischen x = 1 und x = 2 in der Nähe von x = 2

Nun wendest du das Newton-Verfahren an.

Für das Newtonverfahren brauchst du die entsprechende Funktion, die 1-te Ableitung der Funktion und einen Startwert in dessen Nähe die Nullstelle vermutet wird.


Das Newtonverfahren läuft folgendermaßen ab -->

1.) Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer
Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

2.) Berechne -->

z= x - f(x) / f´(x)

3.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzte x = z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze x = z

7.) x ist das Endergebnis, beende den Algorithmus jetzt.


https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

f(x) = e ^ (x * ln(32)) - 500 - 100 * x

f´(x) = ln(32) * e ^ (x * ln(32)) - 100

Startwert x = 2

Mit dem Startwert x = 2 erhält man nach 5 Iterationen den Wert x = 1.88548280153459

Zusammenfassung :

x = -5

und

x = 1.88548280153459

Vielen Dank schonmal für diese ausführliche Antwort!

Das Newton Verfahren werde ich mir noch anschauen.

Auf diese Frage bin ich gestoßen als wir im Mathe Unterricht eine Aufgabe dieser Art hatten:

Ein See wird jeden Tag um 100m² vergrößert, am Tag 0 ist er schon 500m² groß. Der See ist am Tag 0 mit 3m² Algen bedeckt, die Fläche die von Algen bedeckt ist verdoppelt sich jeden Tag.

Diese "aufgabe" wurde als Einstieg in exponentielle Funktionen genommen...

Ich habe mich gefragt wie man berechnen könnte nach wie vielen Tagen genau die komplette Fläche bedeckt ist.

Deswegen sollte es natürlich auch statt 32^X 3*2^X heißen... das ändert ja aber nicht viel and der Herangehensweise!

lg :)

1
@Tokitari

A(x) = 3 * 2 ^ x

Diese Funktion beschreibt die Fläche die von den Algen am Tag x bedeckt ist.


S(x) = 500 + 100 * x

Diese Funktion beschreibt die Fläche des Sees am Tag x

500 + 100 * x = 3 * 2 ^ x

Und nun sehe ich, dass du in deiner Aufgabe zwischen 3 und 2 das Malzeichen vergessen hast !!


Lösen kannst du es aber dennoch genau so wie ich es dir oben gezeigt haben, aber weil ich mit 32 ^ x anstelle mit 3 * 2 ^ x gerechnet habe, stimmen meine Ergebnisse jetzt natürlich nicht mehr !!

Als Lösung musst du folgendes rausbekommen -->

x = -5

und

x = 8.85079

0
@DepravedGirl

Dass die Lösung nicht stimmt ist ja nicht schlimm, ich will ja nicht die Lösung wissen sondern verstehen wie, danke nochmal :)

1
@DepravedGirl

P.S -->

Weil es keine negativen Tage geben kann fällt die Lösung mit x ≈ -5 wahrscheinlich sowieso weg.

0

Lad dir die App " Photomath " runter du musst von der Aufgabe nur ein Foto machen oder es da aufschreiben und die App gibt dir dann die Lösung mit Rechen weg

Die app kenne ich bereits.

Mir geht es nicht darum die Lösung zu wissen sondern den Rechenweg zu verstehen!

trotzdem danke

0

Aso oke
Immer wieder gern

0

also ich kenne auch nur die Lambert methode.
Das lösen von Gleichungen wo ein x sowohl im exponenten wie auch in der Basis vorkommt, ist ein Problem für das es keine einfachen Lösungen gibt

Kennst du eine komplizierte? :>

0

Dein Beispiel-Link ist falsch erklärt! Richtig siehe

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

(x+a)* b^x = c |*b^a
(x+a)* b^(x+a) = c *b^a | Subst.: u=x+a
u * e^(log(b)*u) = c *b^a | *log(b) und subst.: z=log(b)*u
z * e^z = c *b^a*log(b) | §C Umkehrfunktion
z=LambertW(n,c *b^a*log(b)) |Rücksubst.:
u=LambertW(n,c *b^a*log(b))/log(b) | Rück2
x=LambertW(n,c *b^a*log(b))/log(b)-a ; n=-2...1
mit a=2, b=3, c=4
 n | x
-2 | -0.85000206103882985793215861-10.11168132385674450755 i
-1 | -0.19698146687223427792235753-4.627582414810904448141 i
0 | 0.44723345968841609331415512....
1 | -0.19698146687223427792235753+4.6275824148109044481410 i

Nun zu Deiner
32^x=100*x+500
e^(log(32)*x)=100*x+500
§5 mit a=log(32), b=100, c=500
x=-LambertW(n, -log(32)/[100*e^(a*500/100)])/log(32)-500/100, n=-2...1
[-LambertW(n, -log(32)/[100*e^(log(32)*5)])/log(32)-5]

4 Lösungen:
n | x
-2 | 1.8963888689107121102563883832720+1.89013007424456055788287 i
-1 | 1.88548280153458950277870082603853336675
0 | -4.99999999970197677581522769079842950186
1 | 1.8963888689107121102563-1.89013007424456055788287229660 i

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