Die gibt es nicht.

Jemand könnte behaupten die Zahl wäre 1 / (1000 ^ 1000)

Dann würde eine andere Person sofort 1 / (10000 ^ 10000) nennen, und hätte sofort eine noch kleinere Zahl gefunden, und die Behauptung widerlegt.

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Nein, nach rechts.

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/funktionsbegriff/funktionen-graphen/funktionsgraphen-verschieben

sin(x) = cos(x - pi / 2)

Wegen dem Minuszeichen ist die Verschiebung nach rechts.

Die Kosinusfunktion muss also um pi / 2 nach rechts verschoben werden um sich mit der Sinusfunktion zu decken.

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Einfacher kann man es sich machen, wenn man folgendes definiert

y := f_k(x)

Dann erhält man :

y = k * x ^ 2 + (1 - k)

Das kann man dann umformen zu :

(y - 1) = k * x ^ 2 - k

(y - 1) = k * (x ^ 2 - 1)

k = (y - 1) / (x ^ 2 - 1)

Eine Division durch Null ist verboten, dass bedeutet x ^ 2 darf nicht 1 sein, weil 1 - 1 = 0 ist.

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Diese Webseite finde ich gut -->

http://unimath.de/eine-matrix-ist-invertierbar-wenn/

Wenn eines der Kriterien nicht zutrifft, dann ist die Matrix nicht invertierbar, so habe ich das zumindest verstanden.

Außerdem ist noch zu sagen, dass nur eine quadratische Matrix invertierbar ist.

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Falls es folgendermaßen lautet :

(12.5 * b ^ 1) / (b ^ 4)

Dann kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor b ^ 1 ausklammern und dann den ausgeklammerten Faktor gegeneinander wegkürzen. Übrigbleiben würde dann :

12.5 / (b ^ 3)

Falls es jedoch lautet :

12.5 / (b ^ 4 * b ^ 1)

dann wird daraus :

12.5 / (b ^ 5)

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k! * (n - k)!

Substitution :

z = n - k

k! * z! = k ! * z * (z - 1)!

Das ist so, weil

z! = z * (z - 1) !

Rücksubstitution führt auf deine Aussage.

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f(x) = (5 - 2 * x) ^ 4

Innere Funktion :

u = 5 - 2 * x

Äußere Funktion :

v = u ^ 4

Innere Ableitung :

u´ = -2

Äußere Ableitung :

v´ = 4 * u ^ 3

Innere Ableitung mal äußere Ableitung, also u´ * v´

-2 * 4 * u ^ 3

Kann man vereinfachen :

-8 * u ^ 3

Das u durch das ersetzen für das u steht :

-8 * (5 - 2 * x) ^ 3

Also :

f´(x) = -8 * (5 - 2 * x) ^ 3

Weil 2 ^ 3 = 8 ist kann man, wenn man möchte die -8 noch in die Klammer mit reinziehen :

f´(x) = (4 * x - 10) ^ 3

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Ich kenne die exakte Lösung nicht, möchte jedoch darauf hinweisen, dass es im Schach verbotene Stellungen gibt.

Beispielsweise gibt es Stellungen, die in einer echten Schachpartie niemals hätten erreicht werden können, weil es verboten ist, den König aktiv (absichtlich) so zu ziehen, dass er nach Vollendung des Zuges im Schach stehen würde.

Auch bin ich der Meinung, dass der weiße Bauer auf a2 (ohne Umwandlung in etwas anderes als den Bauern) niemals auf die h-Linie wird gelangen können.

Stellt sich jetzt die Frage, ob das nur eine rein mathematische Frage ist, ohne das Schachspiel und seine Regeln selber zu beachten, oder ob die Frage einen echten Bezug zum realen Schachspiel haben soll.

P.S. -->

Ich bin übrigens eine echt schlechte Schachspielerin, dennoch finde ich das Spiel echt super, allerdings spiele ich es nur selten, weil es echt viel Zeit verschlingt ;-))

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Du könntest zum Beispiel auch dieses mit rein nehmen :

(a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d) / (x + k)

Frage wäre dann, für welche Parameter a, b, c und d ganzrationale Terme, d.h.Terme ohne Bruch, als Ergebnis heraus kommen.

Ergebnis :

Wenn a * k ^ 3 - b * k ^ 2 + c * k - d = 0 wird, dann erhält man einen ganzrationalen Term.

Dieses Ergebnis kann man durch ganz normale Polynomdivision herleiten, nur dass es eben eine Berechnung mit Parametern statt Zahlen ist, der GF-Editor eignet sich leider nicht um die Rechnung hier vernünftig zu zeigen, deshalb musst du die Polynomdivision bei diesem Beispiel selber machen.

Anwendung :

Nun kann man fragen, welchen Wert c haben müsste, wenn

a = 2 und b = 0.5 und k = 3 und d = 7

wäre :

a * k ^ 3 - b * k ^ 2 + c * k - d = 0

2 * 3 ^ 3 - 0.5 * 3 ^ 2 + c * 3 - 7 = 0

54 - 4.5 + 3 * c - 7 = 0

42.5 + 3 * c = 0

3 * c = - 42.5

c = - 425 / 30 = - 85 / 6

c = - (14 + 1 / 6)

Das bedeutet :

(2 * x ^ 3 + 0.5 * x ^ 2 - (14 + 1 / 6) * x + 7) / (x + 3) = 2 * x ^ 2 - (33 / 6) * x + (14 / 6)

Und das ist ein ganzrationales Ergebnis, d.h ein Ergebnis ohne Bruch.

Verwenden kann man das zum Beispiel dafür, um eigene Übungsaufgaben zur Polynomdivision zu kreieren.

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ln(1) + ln(2) + ln(3) + ln(4) + ... + ... + ln(68) + ln(69) + ln(70) + ln(71) + ln(72) = 238.978389561834323...

238.978389561834323... / ln(10) = 103.78699588083 ...

10 ^ (0.78699588083...) * 10 ^ (103) = 6.1234458377 * 10 ^ 103

Die Mantisse ist auf 10 Stellen nach dem Komma gerundet.

Es ist lästig, das in den Taschenrechner von Hand einzutippen, aber machbar !

Hat man einen programmierbaren Taschenrechner, dann ist das sehr leicht zu bewerkstelligen, vorausgesetzt man kennt alle Befehle des Taschenrechners und er ist kein Billigmodell.

Die Mantisse wird dabei jedoch immer von der Genauigkeit des Taschenrechners beschränkt.

Man lässt natürlich nur die Mantisse ausrechnen, und nicht den Exponenten 10 ^ (103), den liest man selber ab.

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I.) 16x=13-21y

II.) -16x=15+25y

Substitution :

z = 16 * x

I.) z = 13 - 21 * y

II.) - z = 15 + 25 * y

II.) durch -1 teilen :

II.) z = -15 - 25 * y

I.) und II.) gleichsetzen :

13 - 21 * y = -15 - 25 * y

15 addieren und 25 * y addieren :

28 + 4 * y = 0

4 * y = -28

y = -7

y in I.) einsetzen :

I.) z = 13 - 21 * (-7)

I.) z = 160

Rücksubstitution :

Weil z = 16 * x ist, deshalb ist x = z / 16

x = 160 / 16 = 10

Fazit :

x = 10

y = -7

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Frostschutz zu Wasser - Mischverhältnis 4 zu 5 bedeutet 

100 * 4 / (4 + 5) ≈ 44,44 % Frostschutzmittel

100 * 5 / (4 + 5) ≈ 55,56 % Wasser

8.1 Liter * 4 / 9 = 3.6 Liter Frostschutzmittel

8.1 Liter * 5 / 9 = 4.5 Liter Wasser

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Originalfunktion :

f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2

Diese Funktion 3 mal ableiten :

f´(x) = 4 * x ^ 3 - 4 * x

f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 4

f´´´(x) = 24 * x

Nun die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen :

f´(x) = 4 * x ^ 3 - 4 * x

4 * x ^ 3 - 4 * x = 0

x ausklammern :

x * (4 * x ^ 2 - 4) = 0

Weil man ein x ausklammern konnte ist die erste Nullstelle der ersten Ableitung wegen dem Satz vom Nullprodukt automatisch x_1 = 0

Die restlichen Nullstellen bestimmt man über den Term der durch das ausklammern in der Klammer steht :

4 * x ^ 2 - 4 = 0

Das durch 4 teilen :

x ^ 2 - 1 = 0

Auf beiden Seiten der Gleichung + 1 addieren :

x ^ 2 = 1

Nun die Wurzel ziehen und daran denken, dass es eine negative und eine positive Wurzel gibt :

x_2 = - √(1) = -1

x_3 = +√(1) = +1

Die Indizes, also _1 und _2 und _3 kann man auch umsortieren :

x_1 = -1

x_2 = 0

x_3 = +1

Das sind die Nullstellen der ersten Ableitung und somit mögliche (!) Extremstellen der Originalfunktion.

Aufgepasst ! Es handelt sich um mögliche Extremstellen, nicht Extrempunkte.

Um vollständige Punkte zu erhalten muss man x_1 und x_2 und x_3 noch in die Originalfunktion einsetzen :

f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2

f(-1) = (-1) ^ 4 - 2 * (-1) ^ 2 = -1

f(0) = 0 ^ 4 - 2 * 0 ^ 2 = 0

f(1) = (1) ^ 4 - 2 * (1) ^ 2 = -1

Man hat nun also die möglichen Extrempunkte :

(-1|-1)

(0|0)

(1|-1)

Ob es wirklich Extrempunkte sind und ob sie Minimas oder Maximas sind ermittelst du über die 2-te Ableitung und falls nötig auch über die 3-te Ableitung.

Dazu setzt du jetzt die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die 2-te Ableitung ein, also dieselbe Prozedur wie eben, nur das diesmal in die 2-te Ableitung eingesetzt wird :

f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 4

f´´(-1) = 12 * (-1) ^ 2 - 4 = +8

Weil das größer als Null ist, also > 0, deshalb handelt es sich beim Punkt (-1|-1) (siehe oben) um ein Minimum.

f´´(0) = 12 * (0) ^ 2 - 4  = -4

Weil das kleiner als Null ist, also < 0, deshalb handelt es sich beim Punkt (0|0) (siehe oben) um ein Maximum.

f´´(1) = 12 * (1) ^ 2 - 4 = +8

Weil das größer als Null ist, also > 0, deshalb handelt es sich beim Punkt (1|-1) (siehe oben) um ein Minimum.

Zusammenfassung :

Minimum im Punkt (-1|-1)

Maximum im Punkt (0|0)

Minimum im Punkt (1|-1)

Anmerkung :

Hätte f´´(x) für eine der eingesetzten Nullstellen der 1-ten Ableitung den Wert Null angenommen, also wäre f´´(x) = 0 gewesen, und wäre gleichzeitig f´´´(x) für dieselben Nullstellen nicht Null gewesen, also ungleich Null (≠ 0) gewesen, also f´´´(x) ≠ 0 ,dann hätte es sich um einen Sattelpunkt gehandelt, der kein Extremwertpunkt ist !, sondern einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente darstellt.

Nun zur Berechnung von Wendepunkten :

Dazu berechnest du erstmal die Nullstellen der zweiten Ableitung :

f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 4

12 * x ^ 2 - 4 = 0

Durch 12 teilen :

x ^ 2 - 4 / 12 = 0

4 / 12 kann man noch kürzen :

x ^ 2 - 1 / 3 = 0

Auf beiden Seiten der Gleichung + 1 / 3 addieren :

x ^ 2 = 1 / 3

Nun die Wurzel ziehen und wieder daran denken, dass es eine negative und eine positive Wurzel gibt :

x_1 = - √(1 / 3) = - √(1) / √(3) = -1 / √(3)

x_2 = +√(1 / 3) = √(1) / √(3)  = 1 / √(3)

Die Nullstellen der 2-ten Ableitung nun in die 3-te Ableitung einsetzen :

f´´´(x) = 24 * x

f´´´(-1 / √(3)) = -24 / √(3)

Da das nicht Null ist, also ungleich Null ist (≠ 0), deshalb handelt es sich bei der Stelle x_1 = -1 / √(3) um eine Wendestelle.

f´´´(1 / √(3)) = 24 / √(3)

Da das ebenfalls nicht Null ist, also ungleich Null ist (≠ 0), deshalb handelt es sich bei der Stelle x_2 = 1 / √(3) ebenfalls um eine Wendestelle.

Aufgepasst, es handelt sich um Wendestellen, und noch nicht um Wendepunkte.

Um vollständige Wendepunkte zu erhalten, müssen die Wendestellen in die Originalfunktion eingesetzt werden :

f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2

f(-1 / √(3)) = (-1 / √(3)) ^ 4 - 2 * (-1 / √(3)) ^ 2 = - 5 / 9

f(1 / √(3)) = (1 / √(3)) ^ 4 - 2 * (1 / √(3)) ^ 2 = - 5 / 9

Damit kennt man nun folgende Wendepunkte :

(-1 / √(3) | - 5 / 9)

(1 / √(3) | - 5 / 9)

Eine gute Webseite um die eigenen, gemachten Berechnungen auf Korrektheit zu überprüfen ist diese :

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

Dank dieser Webseite weiß ich auch, dass ich mich nicht versehentlich verrechnet habe ;-))

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Deine Bilder sind nicht zu lesen, selbst mit Vergrößerung ist es grässlich das zu lesen.

Glücklicherweise gibt es die Aufgaben aber auch im Internet, die Lösungen wurden aber noch nicht veröffentlicht :

http://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/57/1/A57081.pdf

http://www.mathematik-olympiaden.de/akt\_aufgaben.html

Deine Aufgaben sind die Aufgaben der 8-ten Klasse (Schulrunde).

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Du schaust dir die Zahlen an, die bereits vorhanden sind.

Davon wählst du jeweils die größte Zahl aus und ziehst von der 37 ab und schreibst das dann in das jeweils leere Feld.

Bei Aufgabe d erfindest du die größte Zahl selber, ziehst davon die 37 ab, und schreibst das ebenfalls in ein Feld und denkst dir dann noch 2 Zahlen aus die irgendwo dazwischen liegen.

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y = f(x)

Nein, kenne ich nicht.

Man kann für x immer reelle Zahlen einsetzen, bekommt aber manchmal dann als Ergebnis für y komplexe Zahlenwerte heraus.

Beispiele :

y = f(x) = ln(-1 * (x ^ 2) - 1)

y = g(x) = √(-1 * (x ^ 2) - 1)

Man kann bei diesen Beispielen für x jede reelle Zahl einsetzen, die man will, bekommt aber für y immer einen Zahlenwert heraus, der in den komplexen Zahlen liegt.

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Das kannst du verallgemeinern :

E(x) = g(x) * e ^ (h(x))

In der Kurzschreibweise dann :

E = g * e ^ (h)

Die Ableitung davon lautet :

E´ = (g´ + g * h´) * e ^ (h)

Auf dein Beispiel angewendet :

E = 4 * x * e ^ (-0.2 * x)

g = 4 * x

g´ = 4

h = - 0.2 * x

h´ = - 0.2

E´ = (4 + 4 * x * -0.2) * e ^ (-0.2 * x)

E´(x) = 4 * ( 1 - 0.2 * x) * e ^ (-0.2 * x)

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Ja, er hat recht.

Klar machen kann man sich das mit Hilfe der abc - Formel (Mitternachtsformel) :

x_1,2 = - b ∓ (1 / (2 * a)) * √(b ^ 2 - 4 * a * c)

b ^ 2 kann niemals kleiner als Null werden.

Wenn a negativ ist und c positiv ist, dann ist - 4 * a * c positiv.

Wenn a positiv ist und c negativ ist, dann ist - 4 * a * c ebenfalls positiv.

Also, wenn a und c verschiedene Vorzeichen besitzen, dann ist b ^ 2 - 4 * a * c immer positiv und die Wurzel aus einem positiven Betrag kann man problemlos ausrechnen.

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