Lambertsche W-Funktion umschreiben?
Moin,
Kann man irgendwie die lambertsche W-Funktion umschreiben, oder gibt's da eine Formel dafür?
Ich habe folgende Gleichung:
Ich weiss jetzt nicht, wie ich das x aus der W-Funktion rausziehen kann. Generell weiß ich nur, dass dieses Gesetz gilt:
Gibt es noch andere Gesetze oder kann man das irgendwie umschreiben? Danke im Vorraus.
2 Antworten
Ja kann man umstellen, durch spielchen mit der Umkehrfunktion der Lambertschen W-Funktion:
Daraus folgt dann:
oder als Latex-Code:
\begin{align*}
W(x^{2} \cdot \mathbf{e}^{x}) &= 5 \quad \mid \quad W^{-1}()\\
W^{-1}(W(x^{2} \cdot \mathbf{e}^{x})) &= W^{-1}(5)\\
x^{2} \cdot \mathbf{e}^{x} &= W^{-1}(5) \quad \mid \quad W^{-1}(z) := z \cdot \mathbf{e}^{z}\\
x^{2} \cdot \mathbf{e}^{x} &= 5 \cdot \mathbf{e}^{5} \quad \mid \quad \sqrt()\\
\sqrt(x^{2} \cdot \mathbf{e}^{x}) &= \sqrt(5 \cdot \mathbf{e}^{5})\\
\sqrt(x^{2}) \cdot \sqrt(\mathbf{e}^{x}) &= \sqrt(5) \cdot \sqrt(\mathbf{e}^{5})\\
(x^{2})^{\frac{1}{2}} \cdot (\mathbf{e}^{x})^{\frac{1}{2}} &= (5)^{\frac{1}{2}} \cdot (\mathbf{e}^{5})^{\frac{1}{2}}\\
x \cdot \mathbf{e}^{\frac{x}{2}} &= \sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}\\
1 \cdot x \cdot \mathbf{e}^{\frac{x}{2}} &= \sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}\\
\frac{2}{2} \cdot x \cdot \mathbf{e}^{\frac{x}{2}} &= \sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}\\
2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \mathbf{e}^{\frac{x}{2}} &= \sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}} \quad \mid \quad \div 2\\
\frac{x}{2} \cdot \mathbf{e}^{\frac{x}{2}} &= \frac{\sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}}{2} \quad \mid \quad W()\\
W(\frac{x}{2} \cdot \mathbf{e}^{\frac{x}{2}}) &= W(\frac{\sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}}{2}) \quad \mid \quad W(z \cdot \mathbf{e}^{z}) := z\\
\frac{x}{2} &= W(\frac{\sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}}{2}) \quad \mid \quad \cdot 2\\
x &= 2 \cdot W(\frac{\sqrt{5} \cdot \mathbf{e}^{\frac{5}{2}}}{2})\\
x_{1, reell} &\approx 3,891730221113087127466790582511922158777626027818860071806761919185165635894487012548646445792449740
\end{align*}
Und so einfach ist es zu lösen.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Ich benutze immer die numeriche Berechnung mit den Newton-Vehrfahren, da die anderen Formeln zu anstrengend sind. x)
Es gibt viele Formeln zur Berechnung der Funktion.
Für den Hauptzweig der Funktion wird in der Regel eine Integralfunktion als Funktion genutzt:
W(z) = {z / 2π} * int from{-π} to{π} {((1 - v * cot(v))² + v²) / (z + v * csc(v * e^{-v * cot(v)}))} dv
= {z / π} * int from{0} to{π} {((1 - v * cot(v))² + v²) / (z + v * csc(v * e^{-v * cot(v)}))} dv
in Latex:
\begin{align}
W(z)&=\frac{z}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac{\left(1-\nu\cot\nu\right)^2+\nu^2}{z+\nu\csc\nu e^{-\nu\cot\nu}} \, d\nu\\
&= \frac{z}{\pi} \int_0^\pi \frac{\left(1-\nu\cot\nu\right)^2+\nu^2}{z + \nu \csc\nu e^{-\nu\cot\nu}}
\end{align}
Es gibt aber auch die Möglichkeit den Zweig 0 durch Taylor Folgen als elementare Funktion darstellen: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Asymptotic_expansions
Es gibt aber unendlich viele Ergebnisse, da es halt unendlich viele Zweige hat.
Deswegen ersucht man meist einfach nur die Lösungen "z" zu finden welche
k = (W_{k}(z) + log(W_{k}(z)) - log(z)) / (2πi) ∈ ℤ
erfüllen, was in Kompf schwer ist, also einen lieben Rechner damit beauftragt.
Aber für das Newton-Verfahren muss man doch auch die W-Funktion berechnen können. Es gilt doch:
x_n+1=x_n+W(x_n)/W'(x_n)
Oder vertue ich mich da jetzt?
Wir müssen es nicht berechnen können.
Wir können nämlich durch Umstellen (oder den "falschen Ableiten") schummeln:
W(y) = x | W^{-1}
W^{-1}(W(y)) = W^{-1}(x)
y = x * e^{x} | -y
f(x) = 0 = x * e^{x} - y
f'(x) = [x * e^{x} - y]'
f'(x) = [x * e^{x}]' - [y]' | Konstantenregel
f'(x) = [x * e^{x}]' - 0
f'(x) = [x * e^{x}]' | Produktregel
f'(x) = [x]' * e^{x} + x * [e^{x}]' | Potenzregel
f'(x) = e^{x} + x * [e^{x}]' | Kettenregel
f'(x) = e^{x} + x * [x]' * e^{x} | Potenzregel
f'(x) = e^{x} + x * e^{x}
In die Formel eingesetzt:
x_{n + 1} = x_{n} - (x * e^{x} - y) / (e^{x} + x * e^{x})
(siehe Numerische Berechnung der Lambertschen W-Funktion)
Danke! Ich war einfach zu blöd für den Schritt mit dem inteligenten leeren Produkt 2/2. Weiß auch nicht warum.
Aber vielen Dank, dass Du dann den Weg gezeigt hast... hab mit den Kopf daran zerissen.
Hoffe für Dich, dass der Fragesteller Dir die hilfreichste Antwort verleiht - hast Du verdient!
:)
Edit:
Ich bin zu blöd gewesen, die Aufgabe zu lösen. Schau Dir am besten die von LORDderANALYSE an!
Dies emphele ich Dir das Ergebnis mit Wolfram-Alpha zu berechnen. Das Ergebnis ist x≈3,89 (genauer auch in der anderen Antwort).
Wolfram Alpha kann sogar manche Aufgaben mit Rechenschritten vorrechnen und Anzeigen, weswegen Wolfram Alpha hier ideal zum Üben ist. :3
Ach ja...
Ich brauch langsam mal ein Leben. x)