Könntet ihr mir die Lösung samt Lösungsweg zeigen?
Hallo🙋🏻♀️
Meine Aufgabe lautet:
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit den folgenden Eigenschaften:
Der Graph der Funktion schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten P(0/0) und Q(3/0).
Der Punkt E(1/4) ist ein Extrempunkt.
a)Stellen Sie mit Hilfe der angegebenen Eigenschaften des Graphen der Funktion ein System aus vier linearen Gleichungen zur Berechnung der Koeffizienten der Funktionsgleichung auf.
b) Durch Einsetzen und Umformen können Sie das unter a) ermittelte lineare Gleichungssystem auf ein Gleichungssystem mit nur noch drei Gleichungen reduzieren.
Weisen Sie nach, dass Sie dann als Ergebnis folgendes Gleichungssystem erhalten:
l a + b + c= 4
ll 3a + 2b + c= 0
lll 27a + 9b + 3c= 0
c) Lösen Sie das unter b) angegebene System linearer Gleichungen mit dem Gaußverfahren und geben Sie die Funktionsgleichung der gesuchten Funktion an. (Sie müssen das eigene Ergebnis nicht benutzen!!!)
Leider verstehe ich es nicht ganz genau und würde liebend gerne fragen, ob ihr mir die Lösung zeigen könntet mit Rechnungsweg.
Danke im Voraus!
LG Hasti
4 Antworten
Hallo,
ich versuche eine Lösung für die Aufgabe darzulegen.
Geg.:
- Funktion 3. Grades: f(x) = ax³+bx²+cx¹+dx⁰
- Punkt auf Funktion: P(0|0)
- Punkt auf Funktion: Q(3|0)
- Extremstelle: Punkt auf Funktion der ersten Ableitung: E(1|4)
Ableitungen:
f(x) = f(x) = ax³+bx²+cx¹+dx⁰ = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = a3x²+b2x¹+c1x⁰ = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = a6x¹+b2x⁰ = 6ax + 2b
f'''(x) = a6x⁰ = 6a
f''''(x) = 0 = 0
zu a)
- P(0|0): f(x) = ax³ + bx² + cx + d = f(0) = a0³ + b0² + c0 + d
0 = f(0) = 0 + 0 + 0 + d
0 = d
- Q(3|0): f(x) = ax³ + bx² + cx + d = f(3) = a3³ + b3² + c3 + d
0 = f(3) = a27 + b9 + c3 + d
0 = 27a + 9b + 3c + d
- E(1|4): f(x) = ax³ + bx² + cx + d = f(1) = a1³ + b1² + c1 + d
4 = f(1) = a + b + c + d
4 = a + b + c + d
- E(1|4): f'(x) = 3ax² + 2bx + c = f'(1) = 3a1² + 2b1 + c
0 = f'(1) = 3a + 2b + c
0 = 3a + 2b + c
a b c d y
0 0 0 1 0 / P(0|0)
27 9 3 1 0 / Q(3|0)
1 1 1 1 4 / E(1|4)
3 2 1 0 0 / E(1|4) für erste Ableitung, daher Steigung=0 u. damit y=0
Treppennormalform (Rref*):
a b c d y
1 0 0 0 1 / a=1
0 1 0 0 -6 / b=-6
0 0 1 0 9 / c=9
0 0 0 1 0 / d=0
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f(x) = x³ - 6x² + 9x
zu b)
a b c y
1 1 1 4 / LG I
3 2 1 0 / LG II
27 9 3 0 / LG III
zu c)
a b c y
1 1 1 4 / LG I
3 2 1 0 / LG II
27 9 3 0 / LG III
Treppennormalform (Rref*):
a b c y
1 0 0 1 / a=1
0 1 0 -6 / b=-6
0 0 1 9 / c=9
f(x) = ax³ + bx² + cx
f(x) = x³ - 6x² + 9x
*Rref = Reduced row echelon form
Ich hoffe es hilft. Gruesse e¹
Lesen und nach Mathematik übersetzen:
Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades:
f(x)=ax³+bx²+cx+d ---> f'(x)=3ax²+2bx+c
P(0|0): f(0)=0 -> d=0
Q(3|0): f(3) = 0 -> a*3³+b*3²+c*3=0
E(1|4): f(1)=4 -> a + b + c = 4
Extrempunkt: f'(1) = 0 -> 3a+2b+c=0
Derartige Aufgaben mit Lösungen und Lösungsweg findest du unter http://www.raschweb.de/ M10-r1-ganzrationale Fkt-Aufgaben
Was genau verstehst du nicht?
Du suchst eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Wie sieht die allgemeine Form so einer Funktion aus?
f(x) = ....
Wenn Du das aufgeschrieben hast, dann hast du da ein paar Sätze, denen du Informationen entnehmen kannst. Diese Informationen musst du dann in die Funktionsgleichung selbst oder in deren Ableitungen einsetzen. Daraus ergeben sich dann die Gleichungen.
So kommt man Stück für Stück voran, versuch es einfach, ich helfe dabei dann gerne. Aber einfach die Lösung bekommst du von mir nicht.