Wozu braucht man die Eulersche Zahl als Basis im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen?
Mir ist klar das man mit der E-Funktion Wachstumsvorgänge beschreibt. Bei f(x)= e hoch x . ist e die Basis und x der Exponent. Ich hab überall gelesen, dass die Funktion viele naturwissenschaftliche Zusammenhänge beschreibt. Ich weiss auch dass der lim x gegen unendlich (1 + 1/x)hoch x = e ist. Mir ist allerdings nicht klar warum die so besonders toll sein soll. angenommen 5 hoch x oder 4 hoch x könnte ja auch einen exponentiellen zusammenhang beschreiben. Warum benutzt man dann e als basis und keine andere ganze zahl . Vielen dank für die antworten
5 Antworten
e^x hat neben der Eigenschaft, dass die Stammfunktion oder Ableitung gleich sind, auch die Eigenschaft, dass man sie bei komplexen Zahlen als cos(x) + isin(y) schreiben kann. Also:
e^z (z = komplexe Zahl) = cos(x) + isin(y) mit x, Realteil und y, Imaginärteil von z. Das ist sehr wichtig und hilfreich in verschiedenen Gebieten.
weil sich irgendwie durch mathematik herausgestellt hat, dass nur e diese Eigenschaft hat. Genauso könntest du ja die Zahl Pi hinterfragen, warum diese soviel mit dem Kreis usw. zutun hat. Das ist genau so eine irrationale Zahl wie e, die besondere Eigenschaften hat.
Man kann jede positive Basis größer als Null in jede andere positive Basis größer als Null umwandeln
a ^ x = b ^ (x * ln(a) / ln(b))
Aus e ^ x kann zum Beispiel folgendes werden -->
e ^ x = 10 ^ (x * ln(e) / ln(10))
e ^ x = 10 ^ (x / ln(10))
Es ist einfacher mit e ^ x zu rechnen als zum Beispiel mit 10 ^ (x / ln(10))
Du hast recht, man kann auch eine andere Basis nehmen. Die Zahl e als Basis hat den Vorteil, dass die Ableitung von e hoch x wieder e hoch x ist.
Und das ist deshalb ein Vorteil, weil es den Umgang mit Differentialgleichungen vereinfacht. Das sind solche Gleichungen, in denen Funktionen und ihre Ableitungen miteinander verknüpft sind. Man verwendet sie, um dynamische Systeme zu beschreiben und auszurechnen, welchen Funktionen sie in ihrer Entwicklung folgen. Wachstumsvorgänge sind ein Beispiel dafür.
Die Zahl e hat noch viele andere Eigenschaften und ist durchaus auch in der Natur zu finden.
Beispielsweise ist die Vermehrungsfunktion einiger Bakterienkulturen von e abhängig. Welche genau das sind, müsstest du einen Biologen fragen.
Aber e ist nicht so mathematisch wie viele denken. Da gibt es viele Beispiele aus der Natur.
Das würde ich so nicht ganz unterschreiben. Wenn Wachstumsgesetze exponentiell verlaufen, ist man nicht gezwungen, E als Basis zu nehmen. Oder was meinst du?
Die e-Funktion ist ein interessanter Sonderfall. In der Praxis benutzt man die auch nicht immer. Sie wird nur wegen der mathematischen Eigenschaften in Matheklausuren exemplarisch benutzt.
richtig, der einizige vorteile ist dann , dass ableitung und stammfunktion gleich der funktion selbst sind dann oder gibt es andere vorteile?
Ihren Zusammenhang mit anderen Funktionen finde ich auch sehr interessant. Das Integral von 1/x bspw ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Außerdem ist sie nicht irrelevanter Bestandteil der komplexen Zahlen.
Es gibt eben in jedem Bereich der Mathematik schöne oder besondere Exempel wie auch die Wurzel aus -1 . Man befasst sich in der Schule (und auch im weiteren Werdegang) damit, um ein Gefühl dafür zu entwickeln.
ja das ist wichtig in der e technik. verstehe trotzdem nicht warum man e als basis nimmt.