Die eulersche Zahl?
Hallo,
ich halte ein Fachreferat in Mathe über die Eulersche Zahl. Ein Teil soll darum gehen, warum sie so wichtig in exponentiellen Funktionen ist und einfach generell ihre große Bedeutung in der Mathematik.
Ich finde oft nur Sachen auf Englisch und mit den Begriffen bin ich in Mathe nicht wirklich vertraut. Oder es ist zu hoch für die FOS (Bayern) und ist für die Klasse zu komplex.
Ein paar Sachen habe ich schon herausgefunden, aber warum sie nun so wichtig ist für Exponentialfunktionen da wird mir einfach nichts klar. Kann mir das jemand erklären? Evtl. mit Quellen wenn er welche hätte?
Danke im Voraus!
3 Antworten
"Theoretisch könnte man doch viele Exponentialfunktionen auch mit normalen Zahlen schreiben um dieselbe Funktion zu bekommen oder liege ich da falsch? Ich bin gerade an dem Punkt wo ich nicht verstehe warum ich e benutzen soll, anstatt eine normale Zahl."
Nein - Du kannst eine e-Funktion nicht durch eine andere Zahl ersetzen. Die Funktion "e hoch x" oder "e hoch -x" kannst Du nicht anders schreiben. Die Zahl "e" ist eine Art Naturkonstante, die gerade bei physikalischen Vorgängen eine große Rolle spielt. Das erzeugt natürlich die Frage: Warum? Und das ist gar nicht so leicht zu beantworten.
Ohne hier in Einzelheiten gehen zu wollen, sage ich nur: Die e-Funktion steht in engem mathematischen Zusammenhang mit der sinus-Funktion, die in der Natur als Schwingungsfunktion existiert. Man kann also den Sinus durch e-Funktionen ausdrücken (Euler-Beziehung).
Deshalb finden z.B. die Aufladungs- und Entladungsfunktionen von Kondensatoren nach einer e-Funktion statt. Auch der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom bei einer Diode (pn-Übergang) bzw. im Transistor wird durch eine e-Funktion beschrieben. Auch der zeitliche Ablauf von Erwärmung und Abkühlung eines Körpers erfolgt nach einer e-Funktion.
Auch in Biologie, Wirtschaft und Gesellschaft (Corona-Entwicklung ohne "Störung" durch Maßnahmen) findet man Funktionen, die die e-Funktion enthalten.
Da es um physikalische oder andere "natürliche" Gesetzmäßigkeiten geht, kannst Du gar nicht von Dir aus willkürlich eine e-Funktion "aufstellen". Du hast keine andere Wahl als das so zu akzeptieren - Du kannst ja nicht die Physik ändern, oder? Du kannst höchstens - als Mathematiker - eine Funktion erfinden, um damit irgendwas zu üben (Ableitungen oder so), aber das ist dann rein abstrakt...ohne realen Hintergrund.
Danke dir, jetzt weiß ich bescheid wo und warum das e benutzt wird. Wärst du in meinem Umfeld, dann hätte ich mich bei dir revanchiert. Hast mir sehr sehr viel weitergeholfen.
Es ist aber wirklich eine interessante Fragestellung, WARUM so einige physikalische und andere natur-gegebene zeitliche Abläufe nach einer e-Funktion erfolgen. Das geht eigentlich schon in die Philosophie rein...irgendwann kommt man an den Punkt, wo es heißt: Das ist eben so. Naturgesetze kann man nicht erklären.
Weil das der Basisfaktor für Komplett rekursive Vorgänge ist.
e = 2,718281828459... hat keine Periode.
Anschaulich:
Ein Bakterium das sich ja durch Teilung vermehrt würde je Rekursionsschritt nicht 2 sondern eben statistisch e mal soviele Individuen haben. Grund = Rekursion. Während die Trennung noch nicht abgeschlossen ist entsteht schon in der neuen Version wieder eine kleinere Version des Originals. Statistisch addiert sich das zu eben e (größer als 2).
Den Vorgang habe ich verstanden, nur verstehe ich im Moment eins nicht. Viele Exponentialfunktionen die mit e geschrieben sind, könnte man doch auch mit normalen Zahlen schreiben oder liege ich da falsch? Was macht die Zahl so wichtig, dass ich jemand anderem sagen würde "Du musst e benutzen."
man kann es nicht korrekt schreiben ... genau wie sie eben pi schreiben, und nicht eine gekürzte version 3,14159265.... aber nur wenn die exakte zahl drin steht hat das die eigenschaften die gewüncht sind. also Ableitung von e^x = e^x . aber ableitung von 2,718281828^x ist nicht 2,718281828^x
Tut mir leid wenn ich so nachhake.
Das es irrational ist und man es nicht als Bruch schreiben kann weiß ich auch. Nur zum Beispiel die Ableitungen: Wenn mich jemand fragt ob er für Zinsrechnungen eine Exponentialfunktion mit normalen Zahlen nutzen soll oder eine mit e, wie antworte ich ihm und warum? Was würde sich da verändern im Sachverhalt, wenn ich normale Zahlen nehme und dann ableite? Also irgendwas fehlt mir noch um zu verstehen, was e einfach so wichtig macht beim Benutzen.
Die Eulersche Zahl ist die Basis vieler Exponentialfunktionen, die Phänomene aus der Natur beschreiben. Genauer gesagt sind es solche Zusammenhänge, die Differentialgleichungen beschrieben werden können. Wenn du solche Gleichungen auflöst, landest du häufig bei Exponentialfunktionen mit e als Basis.
In der Statistik kommt die Eulersche Zahl beispielsweise in der Gausschen Glockenkurve vor.
Aber warum beschreibt sie das? Und warum lande ich am Ende häufig bei e? Ich hab inzwischen viele Eigenschaften über e gelesen und gefunden aber ich verstehe nur nicht warum es nun überall benutzt wird. Theoretisch könnte man doch viele Exponentialfunktionen auch mit normalen Zahlen schreiben um dieselbe Funktion zu bekommen oder liege ich da falsch? Ich bin gerade an dem Punkt wo ich nicht verstehe warum ich e benutzen soll, anstatt eine normale Zahl.
Ich meine bei vielen Exponentialfunktionen wo e vorkommt, kann ich die selbe Funktion doch auch mit normalen Zahlen schreiben oder nicht? Zum Beispiel bei Zinsrechnungen wäre es doch möglich eine Funktion aufzustellen mit einfachen Zahlen. Dieselbe Funktion, die mir die gleichen Werte zeigen könnte, wäre auch mit e möglich? Ist das richtig? Wenn das richtig ist, verstehe ich nicht so wirklich die Wichtigkeit von e. Und wenn es falsch ist, was genau macht e dann so wichtig, dass ich keine normalen Zahlen bei z. B. Zinsrechnungen benutzen darf?
Das war ja im Kommentar meine Frage. Also ist es nicht möglich das e in einer Funktion loszuwerden. Dann hat sich das ja geklärt, aber dann verstehe nicht warum es so einen wichtigen Platz in der Mathematik gefunden hat. Also was genau macht e so besonders, dass man es überall verwendet?
Diese Art von Antwort habe ich gesucht, danke dir mein Freund. Nur eine letzte Frage: Woher weiß ich dann immer genau, wann ich eine Exponentialfunktion mit e aufstellen muss und wann nicht? Oder kann ich alles mögliche theoretisch mit e aufstellen?