Mathe exponentieller Wachstum?
Ich schreibe am Mittwoch eine Klassenarbeit über Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen aber ich bin komplett verloren. Ich verstehe nichts und es ist auch sehr schwer. Mir kann nichts helfen und überall werden verschiedene Formeln oder Rechenwege benutzt die wir nicht gemacht haben. Jetzt haben wir noch diese Hausaufgabe bekommen und ich verstehe wieder nichts. Bei a habe ich es irgendwie gelöst aber bei b komm ich garnicht mehr weiter. die b wurde von einer mitschülerin von mir gelöst aber ich kann nicht verstehen woher sie die werte überhaupt bekommen hat. kann jemand bitte irgendwie helfen?? ich brauche es wirklich
2 Antworten
Deine Mitschülerin hat b) prinzipiell genauso wie a) gelöst.
15% Abnahme heißt, dass 85% nach 6 Stunden noch da sind: 0,85 • 12 = 10,2.
Der Exponent 6/24 ist der Zeitanteil in Tagen (6 Stunden sind ein Viertel Tag).
Die Gleichung 10,2 = 12 • b ^ (6/24) entspricht somit deiner Gleichung 4 = 12 • b ^ 5 aus Aufgabe a).
Entsprechend ergibt sich die Formel. Die Halbwertszeit lässt sich nun bestimmen, indem man herausfindet, für welche Zeit x der Funktionswert auf die Hälfte (also nicht nur auf 10,5, sondern auf 6) fällt.
könnten sie vielleicht noch erklären wie man die d macht?
In der Aufgabe heißt es, dass die Menge nach 6 Stunden um 15% abnimmt (und damit also noch 85% übrig sind). Deine Mitschülerin hat nun einfach angenommen, dass man wieder von 12mg ausgeht, sodass nach den 6 Stunden also noch 10,2mg übrig sind. Man könnte stattdessen auch wie in Aufgabe a) direkt sagen: „Nach 6 Stunden sinkt die Menge von 12mg auf 85% ab.“ Tatsächlich spielt die Anfangsmenge keine Rolle bei einer prozentualen Angabe, sodass man auch gleich mit der zweiten Gleichung starten könnte.
Offenbar wollte sie ähnlich zu a) die Zeit x in Tagen haben, statt in Stunden, sodass sie für den Exponenten 6/24 genommen hat (Stunden in Tage umgerechnet) und 6/24 sind genau 0,25.
Dadurch bekommt sie 0,52 als Basis heraus und die Halbwertszeit würde sie dann auch in Tagen erhalten. Man kann die Aufgabe auch mit den 6 Stunden im Exponent lösen, dann ergibt sich eine andere Basis b, also auch eine etwas andere Formel. Die Lösung für die Halbwertszeit ist dann auch in Stunden und unterscheidet sicher daher vom Zahlenwert.
Du brauchst für b lediglich die Formel
y=a×b^x
a ist die Größe deines ursprünglichen wertes (bzw das gewicht des präparats)
b beschreibt wie sehr a abnimmt, wenn du dein x (in dem fall die zeit) vergrößerst.
Zum zeitpunkt x=0 gilt y=a, da b^0 eins ist
Y=a×b^0
Y=a×1
Y=a
also gilt
a=a×b^0
y ist also nur eine modifizierte form von a
Wenn beispielsweise a in einer zeit von zwölfstunden halbiert wird kannst du schreiben
1/2×a=a×b^12
Vor dem ersten a steht 1/2, was ausdrückt, dass nur noch die hälfte von a vorliegt. Durch das b^12 wird ausgedrückt, dass das in 12 stunden passiert ist und dabei stündlich um b verkleinert worden ist.
Bei der aufgabe b) hast du angegeben, dass das Präparat in 6 Stunden um 15% kleiner wird.
Es gilt y=a×b^x
Da sechs stunden vergehen sollen setzt du für x sechs ein.
Y=a×b^6
a wurde um 15% verkleinert also liegen nur noch 85% von a vor, weshalb du für y a×0,85 einsetzt
0,85×a=a×b^6
Hier kannst du a leicht herauskürzen
0,85×a=a×b^6 | :a
Somit erhältst du 0,85=b^6
Jetzt musst du nur noch die sechste wurzel aus 0,85 ziehen und du hast das ergebnis für b.
Darauf basierend kann man jetzt die formel für diesen zerfall aufstellen.
Y=a×0,9737^x
Um nun die halbwertszeit zu ermitteln nutzen wir einen ähnlichen gedankengang.
1/2×a=a×0,9737^x | :a
1/2=0,9737^x | log zur basis 0,9737
Dadurch erhältst du
Log0,9737(1/2)=log0,9737(0,9737^x)
26=x
26 ist also deine halbwertszeit
Ich empfehle, nicht das × als Multiplikationszeichen zu verwenden, denn es sieht der Variablen x so ähnlich, dass die Formeln dadurch unübersichtlich werden. Ich verwende gern den · (MIDDLE DOT) aus der Zeichentabelle des Betriebssystems, oder den *, den man ja auf der Tastatur hat.
woww die aufgabe ist jetzt viel einfacher zu verstehen, vielen dank!!
danke, aber wozu macht man 0,85•12? und was hat 6/24 mit ein viertel tag zutun?