Welche Termzusammenfassung ist hier die Richtige?

Ich probiere mich momentan an Terme ausmultiplizieren und ausklammern (bzw. faktorisieren). Ich habe mir dabei eine Aufgabe überlegt, in der bspw. das Faktorisieren nützlich sein kann. Allen voran in Bruchtermen, natürlich.

Ich habe mir folgenden Term überlegt:

Diesen Term habe ich dann auf zwei Wege (versucht) zusammenzufassen. Einmal mithilfe der Faktorisierung und dann einmal mit dem normalen Weg, in dem ich kürze so weit es geht.

  1. Weg (Faktorisierung):

 Die 3a lassen sich (nach meinem Verständnis) wegkürzen, sodass im Zähler nur noch (4b+c) übrig bleibt.
Nun kann ich auch hier die 4b wegkürzen, womit dann nur noch c übrig bleiben würde.


2.) Weg (So weit kürzen wie möglich)

 Hier lassen sich einmal die 3 in 12ab wegkürzen:
Es lässt sich nun hier auch das eine a wegkürzen:
Nun können wir 4b wegkürzen:


Mein Problem ist jetzt hier, dass ich etwas verwirrt bin was das Ergebnis dieser Termzusammenfassung angeht. Müsste nicht (rein hypothetisch) bei der Probe bei beiden Wege nicht das Gleiche Ergebnis rauskommen? Sagen wir, dass wir für a = 4, b = 1 und c = 3 wählen. Dann erhalte ich beim ersten Weg das Ergebnis 3 (zumindest bei der zusammengefassten Form), beim zweiten Weg dagegen das Ergebnsi 36. Das heißt, entweder ist einer der beiden Wege falsch zusammengefasst oder beide sind falsch. Auch beim Einsetzen in den ursprünglichen Term ergeben sich komplette andere Ergebnisse.

Ich hoffe, dass mir hier die Experten etwas weiterhelfen können. Ich stehe hier momentan auf dem Schlauch. Ich bin mir eigentlich sicher, dass der 1. Weg der richtige sein müsste (bzw. auch der schnellste und einfachste), allerdings verstehe ich nicht warum dann die Zusammenfassung beim 1. Weg nicht das gleiche Ergebnis liefert wie der ursprüngliche Term wenn wir die genannten Werte a = 4, b = 1 und c = 3 wählen. Vielleicht verstehe ich Termzusammenfassung auch einfach nur falsch.

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