Mittlere Steigung und Näherungswert berechnen?
Hallo. Aus gesundheitlichen Gründen war ich eine Weile abwesend und werde jetzt mit diesen Aufgaben konfrontiert. Ich habe leider überhaupt keine Ahnung was ich machen soll, was diese Begriffe bedeuten und welche Formeln ich anwenden muss. Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank
4 Antworten
bei zwei punkten (x1,y1) und (x2,y2) ist der differenzenquotient definiert als
(y2-y1)/(x2-x1)
also differenz der y werte durch differenz der x werte.
bei a) findest du die mittlere steigung indem du einfach den differenzenquotienten über dem intervall bildest.
also wenn [a,b] dein intervall ist, ist der differenzenquotient dann
(f(b)-f(a))/(b-a).
ansosten solltest du dich erst einmal selbst an den aufgaben versuchen, um zu verinnerlichen wie man den differenzenquotienten berechnet und anwendet.
Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1
dies ist die Steigung durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
dies nennt man auch die Sekantensteigung (Gerade durch 2 Punkte)
mittlere Steigung im Interval ist m=(y2-y1)/(x2-x1)
geht nun das Intervall (x2-x1) gegen NULL,so erhält man den Differentialquotienten
dy/dx=y´=f´(x) das ist die 1.te Ableitung der Funktion f(x)=.. nach der unabhängigen Variablen x
Steigung an einer beliebigen Stelle ist dann f´(x)=m
Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse ist dann tan(a)=m (a)=arctan(m)
wählt man nun x2-x1 sehr klein,dann ist m=(y2-y1)/(x2-x1) ungefähr f´(x)
Beispiel: f(x)=0,5*x² abgeleitet f´(x)=0,5*2*x=x
Steigung an der Stelle xo=2 ist somit f´(xo)=2
Näherung mit m=(y2-y1)/(x2-x1)
x1=2 und x2=2,001
(x2-x1)=0,001
y1=0,5*2²=2
y2=0,5*(2,001)²=2,002...
m=(y2-y1)/(x2-x1)=(2,002-2)/0,001=2 stimmt also sogar mit f´(2)=2 überein
Die mittlere Steigung über einem Intervall ist der Quotient aus Höhenunterschied und waagerechtem Abstand. Also die Steigung der Sekante.
Als Beispiel der allererste Fall:
f(x) = 1/2 x^2
[a, b] = [0, 1]
f(a) = 0; f(1) = 1/2
∆f / ∆x = (1/2 - 0) / (1 - 0) = 1/2
Die mittlere Steigung über dem Intervall [0, 1] ist also 1/2.
Veranschaulichung im Graphen: Einzeichnen der Strecke zwischen (0|0) und (1|1/2)
Für b) kann man diesen Wert der mittlerdn Steigung schon als Näherungswert nehmen, oder man berechnet z. B. die mittlere Steigung über [0,4; 0,6] - hier kann ich nicht abschätzen, wie die Aufgabe gemeint ist.
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zu Aufgabe 6:
(1) vgl. Beispiel Aufgabe 5 Nr. 1, zweites Intervall
(2) Berechne die Steigung für den allgemeinen Fall
(3) Berechne den Differenenquotienten in Abhängigkeit von a, daran sollte die Antwort ablesbar sein
(4) betrachte die Paare von Intervallen aus Aufgabe 5 - stimmt die Aussage für alle 3 Intervallpaare?
Also was von mittlerer Steigung habe ich weder im Abi, noch im Studium gehört.
Vlt. ist es so gemeint, dass du die mittlere Steigung über eine lineare Funktion im Integral nähern sollst. Ist aber nur eine Vermutung.
Für b) musst du die jeweilige Funktion ableiten, und den x-Wert an der Hälfte des Bereiches einsetzen.... wobei das dann keine Näherung ist, sondern der exakte Wert.
Am besten du schaust mal ins Buch, oder lässt dir die Unterlagen von deinen Mitschülern schicken.
von der physik her weiß ich dass die momentane geschwindigkeit tatsächlich die ableitug an der stelle ist.
während die mittlere geschwindigkeit in nem intervall einfach nur distanz durch zeitdifferenze, ergo ne näherung mittels differenzenquotiennt, ist.
mittlere steigung würde ich einfach mittels differenzenquotient (mit den eingesetzten grenzen des intervalls) berechnen.
und für b würde ich das intervall in 2 gleiche teile unterteilen und den mittelwert aus den beiden differenzenquotienten bilden.
keine ahnung ob das hier gemeint ist da aber ableitung und co wohl noch nicht bekannt ist, muss es eigentlich sowas sein
Ok Nr.5 habe ich soweit verstanden, aber ich verstehe kaum was bezüglich Nr.6. Was meinen Sie mit "allgemeiner Fall"? Und wie berechnet man etwas in "Abhängigkeit von a"?