Knobelaufgabe Mathe?

In der technischen Abteilung arbeiten zehn Wichtel in zehn Büros an allen möglichen technischen Problemen, die bei der größten Geschenkeproduktion der Welt auftreten können. Wegen des Klimawandels und dem damit verbundenen Anstieg des Meeresspiegels erleiden jedoch drei Büros einen Wasserschaden und sind von nun an unbenutzbar. Jetzt haben wir also zehn Wichtel, aber nur noch sieben Büros. Was soll man nun tun?

Die Lösung ist schnell gefunden: Jeden Tag kommen nur sieben Wichtel in die technische Abteilung, und die anderen drei arbeiten von Zuhause aus. Sicherheitswichtel Willi hat die wichtige Aufgabe, zehn Wichtel mit Schlüsseln für die Büros auszurüsten. Jeder Schlüssel passt nur in ein spezifisches Büroschloss und wird an einen Wichtel verteilt. Ein Wichtel kann sogar mehrere Schlüssel erhalten. Insbesondere können Büros auch von mehreren Schlüsseln geöffnet werden.

Willi hat eine klare Regel bei der Schlüsselverteilung: Nachdem die Schlüssel verteilt sind, darf es keine Rolle spielen, welche sieben Wichtel in die technische Abteilung kommen. Es muss immer möglich sein, die sieben Wichtel den sieben funktionierenden Büros zuzuordnen, sodass jeder Wichtel Zugang zu einem Büro hat, mit dem passenden Schlüssel. Das Tauschen oder Ausleihen von Schlüsseln ist strengst verboten.

Natürlich könnte Willi jedem Wichtel einen Schlüssel für jedes Büro geben, was bedeuten würde, dass er insgesamt siebzig Schlüssel herstellen müsste. Doch Willi überlegt, ob es auch mit weniger Schlüsseln möglich ist. Er sucht nach der kleinsten Anzahl,

k, von Schlüsseln, die er insgesamt verteilen muss, um die vorherige Regel zu erfüllen. Welche Aussage über k ist korrekt?

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[Mathe] Kombinatorik: Unterschied zwischen nCr und nPr?

Guten Tag,

meine zusammengefassten Fragen (Lediglich 3 Stück: 1., 2., 3.) befinden sich weiter unten zwischen den Hastags eingeschlossen („############################“ Fragen „############################“).

Ich frage mich, was der Unterschied zwischen der „nCr“-Taste und der „nPr“-Taste ist, also wenn man den Binomialkoeffizienten im Taschenrechner berechnet.

  • Die „nCr“-Taste wird ja benutzt, wenn die Reihenfolge egal ist. C -> Combinations (= Kombinationen).
  • Die „nPr“-Taste wird ja benutzt, wenn die Reihenfolge beachtet wird. P -> Permutations (= Permutationen).

Doch was rechnet der Taschenrechner anders, wenn ich die „nCr“-Tase bzw. die „nPr“-Taste verwende? Hierfür habe ich im Folgenden ein paar Beispiele gemacht, um es zu verstehen:

  • (1)

5 nCr 0 = 1

5 nPr 0 = 1

  • (2)

4 nCr 2 = 6

4 nPr 2 = 12

  • (3)

6 nCr 2 = 15

6 nPr 2 = 30

  • (4)

4 nCr 3 = 4

4 nPr 3 = 24

  • (5)

6 nCr 3 = 20

6 nPr 3 = 120

  • (6)

8 nCr 3 = 56

8 nPr 3 = 336

  • (7)

5 nCr 4 = 5

5 nPr 4 = 120

  • (8)

7 nCr 4 = 35

7 nPr 4 = 840

  • (9)

9 nCr 4 = 126

9 nPr 4 = 3.024

Feststellungen zu den Beispielen:

  • Bei den Beispielen (1)-(3) verdoppelt sich das Ergebnis bei der Verwendung der „nPr“-Taste im Vergleich zur „nCr“-Taste einfach, da es doppelt so viele Möglichkeiten gibt, für zwei gleiche Sachen, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.
  • Bei den Beispielen (4)-(6) versechsfacht sich das Ergebnis immer, wenn man die „nPr“-Taste statt der „nCr“-Taste verwendet.
  • Bei den Beispielen (7)-(9) vervierundzwanzigt sich das Ergebnis immer, wenn man die „nPr“-Taste statt der „nCr“-Taste verwendet.

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  1. Nun frage ich mich, was sich bei der Berechnung beim Taschenrechner verändert, wenn statt der „nCr“-Taste die „nPr“-Taste verwendet wird und umgekehrt. Könnt ihr mir das sagen, was der Taschenrechner da anders berechnet?
  2. Wieso ist immer die Veränderung im Vielfachen in meinen Beispielen (1)-(3); (4)-(6); (7)-(9) gleich, wenn ich statt der „nCr“-Taste die „nPr“-Taste verwende? Gibt es dafür eine Begründung?
  3. Wieso kommt bei Beispiel (1) immer 1 raus? Wieso kommt immer 1 raus, wenn unten im Binomialkoeffizient 0 steht? Kann mir dafür jemand ein einfaches Beispiel in Form einer „Aufgabe“ geben?

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Beispiel zur Verwendung der „nCr“-Tase im Taschenrechner:

Paul, Julian, Fritz und Thomas möchten zusammen Tennis spielen. Wie viele Möglichkeiten für Zweierteams gibt es (Die Reihenfolge der Nominierung der Spieler in den Teams ist egal)?

Hierbei gibt es ja 4 über 2 Möglichkeiten, also den Binomialkoeffizienten (4 2). Hier verwenden wir nCr, da die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Es ist also egal, ob für ein Zweierteam zuerst der eine Spieler oder erst der andere Spieler nominiert wird.

4 nCr 2 = 6

Beispiel zur Verwendung der „nPr“-Tase im Taschenrechner:

Paul (1), Julian (2), Fritz (3) und Thomas (4) möchten zusammen Tennis spielen. Es werden Zweierteams gebildet. Beide Nummern der Spieler bilden zusammen eine zweistellige Zahlenfolge (Beispiel: Paul (1), Julian (2) = 12 ≠ Julian (2), Paul (1) = 21). Wie viele verschiedene Zahlenfolgen gibt es?

4 nPr 2 = 12

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