Unendliche Zahlenreihen?
Kann mir bitte jemand meine Vermutung zur folgenden Fragestellung bestätigen oder allenfalls mit Erklärungen widerlegen?
"Die Summe einer unendlichen Reihe, deren Glieder alle positiv sind, existiert nie, weil die Summe unendlich vieler positiver Zahlen unendlich ist."
Meiner Meinung nach müsste die Antwort hier "richtig" lauten. Da ich aber bei einer alten Prüfung sehe, dass damals die Antwort "falsch" als korrekt betrachtet worden ist, bin ich mir nicht sicher ob dies einfach ein Fehler der Lehrperson war.
Ich danke für eine Antwort
5 Antworten
Das falsche liegt im zweiten Teil der Antwort: "weil die Summe unendlich ist"
Richtig ist, dass es eine feste Summe im Sinnes einer bestimmten Zahl die erreicht nicht gibt, aber im Sinne einer Konvergenz. Die Summe kann nach oben begrenzt sein und konvergieren. D.h. sie nähert sich einem bestimmten Wert immer weiter an, erreicht ihn aber nie, das ist der sogenannte Grenzwert. Diese Darstellung sagt dir auch, dass die Summe dann auch nicht unendlich ist.
Das klassiche Beispiel ist: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... konvergiert gegen 1 aber 1 ist deutlich kleiner als Unendlich.
Diese "Unendlich-Themen" sind eben schwer in der Vorstellungskraft zu fassen, daher kommt deine Irritation.
Diese Reihe hat keinen Grenzwert, sondern sie geht ins Unendliche. Somit ist dein Satz "dann wäre ja der Grenzwert bei Unendlich" nicht nur falsch, sodern einfach unsinnig. Ja, man sagt "sie konvergiert nicht"
Nein, man spricht hier nicht von einer endlichen Summe. Natürlich immer bis zum n-ten Glied dieser Reihe ist die Summe endlich aber nicht für n gegen Unendlich.
Davon kann ja in Deinem nun konstruierten Fall nicht gesprochen werden. Allerdings hast Du in Deiner Frage eine allgemeine Aussage gemacht, die nicht allgemeingültig ist. Um in der Mathematik sagen zu dürfen "das ist falsch" reicht ein einziges Gegenbeispiel, dass die Aussage falsch ist. Ein wenig ungerecht, aber Mathematik ist sehr streng.
@bergquelle72 und @evtldocha, ich danke euch für die Antwort. Doch nochmals auf meine Eingangsfrage zurückzukommen: "Die Summe einer unendlichen Reihe, deren Glieder alle positiv sind, existiert nie, weil die Summe unendlich vieler positiver Zahlen unendlich ist."
Ist im dieser Fragestellung bereits klar, dass es sich um eine konvergierende Reihe handeln muss?
Oder ist kann also generell gesagt werden, dass auch eine nicht konvergierende, unendliche Reihe (wie z.B. 2+4+6+8 usw.?) eine Summe hat gemäss der Eingangsfrage?
Ich entschuldige mich für meine Unsicherheit in diesem Thema, aber ihr habt mir bereits schon einiges klar gemacht. :)
Als (unendliche) Summe wird immer der Grenzwert der Reihe bezeichnet. Wenn die Reihe divergiert, existiert die Summe in dem Sinne also nicht.
In der Frage ist aber erstmal von allen Reihen die Rede, ob konvergent oder nicht.
(Gelegentlich bezeichnet man Unendlich übrigens als uneigentlichen Grenzwert, falls diw Reihe unendlich groß wird. Spielt hier jedoch keine Rolle.)
Damit die Aussage "Die Summe einer unendlichen Reihe, deren Glieder alle positiv sind, existiert nie, weil die Summe unendlich vieler positiver Zahlen unendlich ist." richtig ist, muss sie FÜR ALLE Reihen richtig sein. Um sie zu widerlegen, reicht es, eine einzige Reihe zu finden, für die der Grenzwert existiert, die also konvergiert. Dass es daneben noch beliebig viele Reihen mit positiven Gliedern gibt, die NICHT konvergieren, ist dann irrelevant.
Ganz anderes Beispiel: Menschen, die Mathematik studieren, haben NIE rote Haare.
Menschen: unendliche Reihen,
die Mathematik studieren: alle Glieder sind positiv,
haben nie rote Haare: Summe existiert nie.
Auch hier würde es völlig ausreichen, einen einzigen Mathestudenten mit roten Haaren zu finden, um zu beweisen, dass der Satz falsch ist. Welcher das ist und ob es blonde und schwarzhaarige gibt, ändert dann nichts daran, die Existenz eines einzigen rothaarigen beweist, dass der Satz falsch ist.
Danke, ich habe einfach nicht um die Ecke gedacht. Mir ist es nun aber klar, was effektiv gefragt wurde. Ich danke euch :)
"Die Summe einer unendlichen Reihe, deren Glieder alle positiv sind, existiert nie, weil die Summe unendlich vieler positiver Zahlen unendlich is
Das ist falsch. Siehe z.B. geometrische Reihe für |q| < 1
Es ist tatsächlich falsch.
Einer nimmt von einem Kuchen die Hälfte weg. Der nächste vom Rest die Hälfte, also 1/4, der nächste wieder die Hälfte usw.
Führt man das unendlich oft durch, so nimmt jeder ein positives Stück vom Kuchen. Summiert man aber alle Stücke zusammen, so ergeben sie den ganzen Kuchen. Die unendliche Summe ist also endlich
Im kontext der anderen Antworten: Dies ist die geometrische Reihe mit q = 1/2.
Nimm als Beispiel die Summe der Reihe
R = 10^-0 + 10^-1 + 10^-2 + ..., denn das ist dasselbe wie
R=1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..., also 1,11111... und diese Summe existiert, denn sie ist gleich 10/9
Nö. Die antwort ist falsch.
Nim die Reihe 1/n2 für n -> unendlich. und n > 0
Alle Zahlen Positiv. Die reihe hat aber nen grenzwert. Sprich: alle werte aufsummiert ergeben eine konkrete zahl. (Edit: unter welcher die Summe bleiben wird.)
Wenn du eine Reihe hast die gegen 0 Läuft dann kann diese reihe nen grenzwert haben.
Ich danke Dir für die ausführliche Erklärung. Wenn wir nun aber eine Reihe 2+4+6+...+n haben, dann wäre ja der Grenzwert bei Unendlich, also die Reihe konvergiert ja dann eigentlich nicht oder? Wieso kann dann trotzdem von einer endlichen Summe gesprochen werden?