- Du schreibst ja nur das Ergebnis auf, wo ist die Interpretation? Und beim Ergebnis fehlt die Angabe je Minute. Eine Interpretation ist, dass die Temperaturabnahme am Anfang schneller ist im weiteren Verlauf, weil die Abnahme von der Differenz abhängig ist. Eine klassische Frage wäre dann, wann man die Milch reinschütten muss, damit man möglichst schnell trinken kann...
- Naja, das muss auch nicht extra da stehen. Du sollst die eingeschlossene Fläche berechnen, dazu musst du die Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmen und anhand dieser die Fläche dann in Teilflächen zerlegen. Das ist geradezu der Witz des Ganzen, da hast du grundlegend was nicht verstanden. Wenn du das nicht machst, dann bestimmst du eben NICHT die orientierte Fläche, sondern nur das Integral der Differenzfunktion und das ist nicht dasselbe. Dir fehlen also die Schritte: Bestimmung der Schnittpunkte (also Lösen einer kubischen Gleichung), dann Entscheidung über die Teilflächen, dann bei den Teilflächen jeweils die Frage, ob du da g(x) - f(x) oder f(x) - g(x) integrieren musst, dann die Integration. Der eine Punkt ist da schon sehr berechtigt.
Ja, genau so.
Das hängt dermaßen stark von deinem Talent und deinem Vorwissen ab, dass es komplett unrealistisch ist, auch nur irgendeine Zahl hier zu nennen. Mir geht es wir Rübezahl: Ich hab während der Schulzeit so gut wie gar nicht gelernt, für's Matheabitur vielleicht 12 Stunden insgesamt, dann war gut. Meine Noten waren trotzdem sehr gut. Eine Klassenkameradin hat permanent gelernt, kaum Hobbys gehabt und hatte am Ende einen deutlich schlechteren Schnitt.
Symmetrisch ist eine Matrix, wenn A^t = A gilt. Du kannst es dir so vorstellen: Mache einen Strich durch die Diagonale durch a11 - ann. Dieser Strich ist die Spiegelachse. Es ist also egal, was auf dem Strich passiert, aber die beiden Seiten unten links und oben rechts müssen gleich sein. Da du hier nur eine 2x2-Matrix hast, betrifft das jeweils nur einen Wert, nämlich die 10, die hier auf beiden Seiten steht.
2 Äpfel und 3 Äpfel sind ... 5 Äpfel.
Und genauso ist es auch mit x'en. Du hast 2 x'e und dann hast du noch 3 x'e - das sind zusammen fünf x'e.
Das zugehörige Rechengesetz ist das Distributivgesetz:
2x + 3x = (2+3)x.
Hier wird das so gut erklärt, da bin ich ausnahmsweise mal echt zu faul zum selber Schreiben:
https://de.serlo.org/mathe/2123/ebene-aus-zwei-geraden
Kurz: Bei zwei sich schneidenden Geraden ist es einfacher, weil man da einfach den Stützvektor der einen und beide aufspannenden Vektoren nehmen kann, bei zwei parallelen Geraden muss man sich Punkte suchen.
Wenn du weißt, dass N additiv und multiplikativ abgeschlossen ist, dann kannst du das mit einer geeigneten Konstruktion von Z aus N schließen (dazu kannst du bei Wikipedia unter "ganze Zahl" schauen).
Um so eine Frage zu beantworten, ist es in der Regel hilfreich, sich zu überlegen, was die genaue Definition der Menge eigentlich ist. Was sind ganze Zahlen?
Was ist denn die Stammfunktion von 1?
Ja, das x kürzt sich weg. Und dann integrierst du noch. Und da vor dem zweiten Integral ein Minus steht, musst du das abziehen.
int 1 dx = x + c.
Die Stammfunktion von f(x) = 1 ist F(x) = x.
Erstmal stellt man fest, das x = -6 keine Lösung sein kann, weil dann der Nenner negativ ist. Dann multipliziert man mit (6+x).
Sinnvollerweise teilt man dann die Gleichung durch 10^4, das macht das alles einfach. Jetzt rechts ausmultiplizieren und den Rest schaffst du selbst.
Nette Aufgabe.
Teile das graue Viereck durch den oberen und unteren Punkt in zwei Dreiecke.
Ich schaue jetzt nur mal das linke von diesen beiden Dreiecken an, also das Nachbardreieck zu den Dreiecken mit der Flächen 9 und 2.
Die Dreiecke mit den Flächen 3 und 2 haben in eine Richtung (nach links unten) die gleich Höhe. Damit gilt für die entsprechenden Grundlinien, dass sie auch das Verhältnis g_3: g_2 = 3:2 haben müssen (einfach mal das Verhältnis der Flächen berechnen, die Höhen kürzen sich weg, das 1/2 sowieso). Diese Grundlinien sind jeweils auch die Grundlinien unseres unbekannten Dreiecks und des Dreiecks mit der Fläche 9. Das unbekannte Dreieck und das Dreieck mit der Fläche 9 aber haben wiederum die selbe Höhe h. Damit gilt für das Verhältnis der Flächen dieser beiden
A_9 / A_u = (1/2 g_9 * h_9) / (1/2 g_u * h_u)
A_9 ist die Fläche des Neunerdreiecks, A_u die unbekannte Fläche (und der Rest entsprechend). h_9 und h_u sind wie gesagt gleich, also bleibt
9 / A_u = g_9 / g_u = g_3 / g_2 = 3:2
also ist A_u = 6.
Jetzt muss man dasselbe noch für das andere Dreieck machen.
Es ist völlig egal, wie viele Zahlen du durchrechnest - das ersetzt alles keinen mathematischen Beweis.
Echt, bei so einer Aufgabe kräuseln sich mir die Nackenhaare. Ja, man kann das mit einem Dreisatz lösen.
4 Fahrer 8 Stunden
1 Fahrer 32 Stunden
6 Fahrer 32/6 Stunden = 5 Stunden, 20 Minuten
ABER: In so einer Situation davon auszugehen, dass das wirklich antiproportional ist, ist völlig abwegig, solange man die Wegesituation vor Ort nicht kennt. Nach der Logik brauchen 32 Fahrer 1 Stunde und 64 eine halbe, aber das ist total unrealistisch. Es gibt Aufgaben, bei denen man halbwegs realistisch annehmen kann, dass das in einem gewissen Bereich gilt: Sechs Köche brauchen 2 h um 200 Brötchen zu schmieren, wielange brauchen 8 Köche oder so, wenn die Aufgaben kleinteilig genug sind, dass man annehmen kann, dass man mit einfach mehr Leuten auch einfach mehr schafft, aber bei so einer Aufgabe wie der hier ist das Quatsch. Wie viele Stapler können denn gleichzeitig in der Halle umher fahren, ohne sich zu behindern? Wie viele Stapler können gleichzeitig in einen Container rein um den zu entladen? Wie viele Stapler können gleichzeitig die Sachen an den richtigen Ort bringen? Grrrrrrrrrr.
Du hast ja in a) die Gleichungen der Asymptoten berechnet, und du hast die Achse beschriftet, richtig?
c ist eine Konstante, du kannst dir das auch vorstellen als eine konstante Funktion g(x) = c. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und die y-Achse bei c schneidet. Je nachdem ob diese Gerade den Graph der Funktion f
keinmal
einmal oder
mehrmals schneidet,
hat die Gleichung f(x) = c
keine
eine oder
mehrere Lösungen.
Fang ganz oben an und lege dir so eine Gerade parallel zur x-Achse ziemlich weit oben ins Koordinatensystem (das kannst du einfach mit dem Geodreieck simulieren). Oben schneidet die Gerade den Graphen genau einmal. Jetzt ziehe das Geodreieck langsam nach unten. Irgendwann hast du zwei Schnittpunkte, dann sogar drei, dann wieder zwei und schließlich wieder einen. Da du vorher die Achsen beschriftet hast, kannst du dann hinterher diese Bereiche auch angeben.
Rechnen musst du hier GAR NICHTS mehr, steht da ja auch extra.
So sieht das dann ungefähr aus... jetzt musst du nur noch schauen, in welchem Bereich wie viele Schnittpunkte vorkommen.
Wo genau hakt es denn? Du müsstest doch jetzt da stehen haben
richtig?
Das musst du jetzt nur noch zu Ende umformen. Und da du ja schon weißt, was rauskommen soll, ist das jetzt nur noch ein winziger Schritt. Also, wo genau kommst du nicht weiter?
Kleiner Tipp: 2n + 3 = 2n + 1 + 2. Damit kommst du so zum Ziel:
Und da wollen wir ja hin.
Ja, bei 1,5 hat die Funktion den Wert 15. Aber: Das absolute Glied ist der Achsenabschnitt der y-Achse, also der Wert, den die Funktion bei 0 hat, nicht bei 1,5.
Darum musst du das anders rechnen: Du hast zwei Punkte, durch die du eine Gerade legen kannst: (1,5 ; 15) und (3 ; 7,5). Du weißt schon, dass du die Steigung hier -5 beträgt, hast also
f(x) = -5x + b
Wenn du jetzt den Punkt (1,5 ; 15) einsetzt, dann steht da
15 = -5 * 1,5 + b = -7,5 + b
also muss b = 22,5 gelten.
Oft hast du als Anfangspunkt so was wie (0, irgendwas), wenn du das einsetzt, hättest du
irgendwas = f(0) = m * 0 + b = b und du kannst den Anfangswert dann direkt benutzen, aber das geht eben nur dann, wenn du wirklich bei 0 anfängst - und das machst du hier nicht.
Und genau dasselbe hast du auch bei der dritten Teilfunktion: Du kennst einen Punkt, nämlich f(3) = 7,5. Und du kennst die Steigung, die ist 5. Das setzt du ein:
7,5 = f(3) = 5 * 3 + b = 15 + b. Und dann kommt heraus, dass b = -7,5.
Also merke: Du kannst den Anfangspunkt nur dann als absolutes Glied nehmen (oder wie auch immer ihr das nennt), wenn du tatsächlich bei 0 anfängst. Sonst musst du das einsetzen.
Vielleicht so:
Und dann kannst du das noch zusammenschieben und zeigen, dass man auch
2 * 4,2 + 0,15 * 4,2 oder
2,15 * 4 + 2,15 * 0,2 rechnen kann, je nachdem, wie man das Gesamtrechteck aufteilt.
c ist eine (zwischen 0 und 30.000) frei wählbare Zahl. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt (zwei Gleichungen für drei Variablen). Daher kann man dann eine der drei Variablen frei wählen, in diesem Fall hat man z ausgesucht. Wenn man dann z festgelegt hat, kann man im folgenden die anderen beiden ausrechnen.
Eigentlich ist die zweite Gleichung
0,07 * x + 0,06 * y + 0,05 * z = 2000
Das ist die Summe der Erträge (hier: Zinsen mal Anlagesumme) der drei Anlagen. Weil aber niemand Lust auf krumme Zahlen hat, wurde die Gleichung mit 100 multipliziert. Daher die 200000.
Du hast
Jetzt nehme ich mal an, dass a >=b ist (sonst tausche ich die beiden im Folgenden, das geht also ohne Einschränkung der Allgemeinheit. Ich klammere einfach a^n aus:
Da kann ich mit arbeiten:
Da b kleiner oder gleich a ist, ist der Bruch b/a kleiner oder gleich 1, das ändert sich auch nicht, wenn ich ihn potenziere. Also kann ich das (sogar unabhängig von n ) abschätzen als
(dabei muss ich mir ein paar Gedanken machen, insbesondere geht da ein, dass die Wurzelfunktion ja monoton steigend ist, wenn ich also den Klammerausdruck nach oben abschätze, wird auch der Ausdruck insgesamt größer). Am Ende habe ich also
wenn ich jetzt n gegen unendlich gehen lassen, ist klar, dass a übrigbleibt.
Kann man auch anders aufschreiben:
Wieder sei a das Maximum der beiden. Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion ist auf jeden Fall
denn b ist ja auch positiv.
Andererseits ist (da a das Maximum ist)
und daher wieder wegen der Monotonie
Insgesamt also
Jetzt kann man wieder den Grenzwert bilden, und da hier wieder unten und oben nach a abgeschätzt werden kann, folgt mit dem Sandwichsatz wieder, dass der Grenzwert eben a, also das Maximum, ist.
Nochmal als Ergänzung: Der Sandwichsatz (oder Einschnürungssatz, https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz) sagt: Wenn eine Folge zwischen zwei Folgen liegt, die gegen den selben Grenzwert konvergieren, so konvergiert auch die mittlere Folgen dagegen.
Genau das habe ich in der letzten Ungleichung:
Links steht a. a ist eine konstante Folge, dann a ist ja ein fester Wert. Also ist
Rechts steht
Das ist das Produkt aus einer Konstanten (nämlich wiederum a) und der Folge 2^(1/n). Da letztere konvergiert, kann ich rechnen
Und jetzt wird eben der oben genannten Einschnürungssatz angewandt und danach ist dann auch der Grenzwert von
gleich a.
Und da wir vorher a so ausgewählt haben, dass es das Maximum von a und b ist, ist damit das gewünschte gezeigt.
Ich würde das anders rechnen als Tannibi - schließlich muss die Person 3 sich die 5 Tage lang ihr Zimmer mit zwei Personen teilen, während die beiden anderen sich die beiden zusätzlichen Tage ihr Zimmer nur zu zweit teilen. Er bekommt 5 Tage lang 1/3 Zimmer, die anderen bekommen 5 Tage lang 1/3 Zimmer und dann noch 2 Tage lang 1/2 Zimmer.
Ich würde also so rechnen:
Das Zimmer ist für 555 Euro 7 Tage lang gebucht, jeder Tag kostet also 79,29 Euro.
Für die 5 gemeinsamen Tage zahlt jeder 5 * 79,29/3 Euro = 132,15 Euro.
Die beiden "7-Tage Urlauber" zahlen dann noch jeder 2* 79,29/2 Euro für die beiden Tage, die sie nur zu zweit sind, das macht dann jeweils 211,44 Euro.
Was du nun gerechter findest... hm, Ansichtssache.
Man kann sich das auch so überlegen: Würden alle drei nur 5 statt 7 Tage da sein und vorausgesetzt, das Zimmer kostet jeden Tag dasselbe, dann würde jeder
555/7 * 5 / 3 = 132,15 Euro
zahlen. Warum soll die dritte Person mehr. zahlen, nur weil die beiden anderen noch zwei Tage bleiben? Das hängt natürlich davon ab, ob das Zimmer auch für 5 Tage zu mieten gewesen ist, oder ob es nur so günstig ist, weil es für 7 Tage gebucht worden ist...
Natürlich ist das klischeehaft. Warum sollte eine bestimmte Gruppe besonders gut in Mathematik sein? Nur weil es eine ganze Reihe Mathematiker gibt, die einen jüdischen Hintergrund haben, heißt das doch noch lange nicht, dass das alle so betrifft. Menschen mit bestimmten Eigenschaften aufgrund ihrer Gruppenzugehörigkeit zusammenzubringen kann eigentlich nur schief gehen - egal, ob das positive oder negative Eigenschaften sind.