Habe ich eine anschauliche Methode gefunden, die beweist, dass unendlich doch immer weiter multiplziert werden kann?
Stellt Euch bitte unendlich viele Menschen vor, von denen jeder einzelne dieser Menschen wiederum eine unendliche Anzahl Tiere besitzt. Diese dann schon unendlich mal unendlichen Tiere besitzen, je Tier, wiederum eine unendliche Anzahl von Pflanzen. Den dann unendlich mal unendlich mal unendlich vielen Pflanzen werden wiederum, pro Pflanze, wieder unendlich viele Gegenstände zugeordnet und diese Multiplizierung geht unendlich in alle Ewigkeit weiter. Das ist anschaulich und eindeutig mehr als die nur einfach unendlich vielen Menschen. Oder?
6 Antworten
Das ist nicht so einfach, wie du das jetzt vorstellst.
Richtig ist, dass es etwas gibt, das größer ist als das, was du als unendlich z. B. aus dem Schulunterricht gibt, es gibt verschiedene Arten. Um sich das genau vorstellen zu können, musst du zuerst einmal schauen, was bei unendlich überhaupt "gleich" oder "mehr" bedeutet.
Stell dir mal folgendes vor:
Du nimmst alle natürlichen Zahlen, N = {1, 2, 3, ...... }.
Jetzt addierst du zu jeder dieser Zahlen 1, dann erhältst du die Menge {2,3,4,....}, die nenne ich mal M.
Offenbar ist jedes Element aus M auch in N enthalten, aber umgekehrt ist die 1 nur in N, nicht aber in M enthalten. Aber ich habe doch die Anzahl der Elemente nicht dadurch verändert, dass ich zu jedem Element aus N 1 addiert habe, oder?
Ich kann das sogar noch weiter treiben: statt 1 zu addieren, multipliziere ich jedes Element von N mit 2, dann bekomme ich die Menge M' = {2,4,6,8,.....}.
Da fehlen sogar unendlich viele Zahlen, die in N aber nicht in M' liegen, und auch hier: Wieso?
Was man nun macht, um zu zeigen, dass zwei Mengen die gleiche Größe (genauer: die gleiche Mächtigkeit haben) haben, ist, dass man Paare bildet aus Elementen aus beiden Mengen. Wenn man es dann schafft, dass es für jedes Element aus der einen Menge genau ein Paar gibt, wo das Element links steht, und für jedes Element aus der anderen ein Paar gibt, wo das Element rechts steht, dann heißen diese Mengen gleichmächtig. Du kannst es dir auch anders vorstellen: Jedes Element aus der einen Menge muss genau einen Partner aus der anderen finden, so dass am Ende alle versorgt sind.
Für die Mengen N und M sucht sich z. B. jeder aus der Menge N denjenigen, der gerade um 1 größer ist als er selbst, das wären dann die Paare
(1,2), (2,3), (3,4)... du siehst, da kommt jeder drin vor.
Man kann nun (das zeige ich jetzt nicht) zeigen, dass man auch das was du vorgeschlagen hast (zu jedem der angenommen unendlich vielen Menschen gibt es unendlich viele Tiere) so anordnen kann, dass die sich z. B. N zu Paaren zusammen finden können.
Man kann aber auch zeigen, dass es Mengen gibt, die sozusagen "größer" sind, für die man also solche Paare nicht finden kann. Und wenn es unendlich viele solcher Eigenschaften gibt, also {Mensch, Tier, Pflanze, Objektart4, Objektart5, .... } (damit übersetze ich deine Aussage: " und diese Multiplizierung geht unendlich in alle Ewigkeit weiter"), dann in der Tat kommt man an diesen Punkt.
Ja, die Teller ohne die Löffel sind genauso viele Gegenstände wie die Teller mit Löffel. Eine Unendlichkeit ist genauso viel wie vier Unendlichkeiten zusammen. Und nein, das bedeutet nicht, das vier genauso viel ist wie eins.
Es ist nicht so, dass ich deine Argumente nicht verstehe. Sie sind nur leider falsch. Und um das zu begreifen, musst du dich mit dem Begriff erst einmal wirklich auseinander setzen.
Was ist also nach deiner Vorstellung überhaupt unter unendlich zu verstehen?
Von einem Beweis kannst du dann sprechen, wenn er von Mathematikern anerkannt wurde. Soweit ich mich mit dem Thema auskenne besteht da aber keinerlei Aussicht, denn in ähnlichen Fällen haben solche "multiplizierten" Mengen die selbe Mächtigkeit. So gibt es z.B. nicht mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen.
Wenn verschiedene Sachen oder Gruppen jeweils unendlich oft vorhanden sind, ist das mehr, als wenn nur eine einzige Sache oder Gruppe unendlich mal vorhanden ist.
Auch für Dich noch eine Variante:
Wenn es unendlich viele Afrikaner und noch zusätzlich unendlich viele Europäer gäbe, meinst Du wirklich, dass dies nur genausoviel wäre, als wenn es nur unendlich viele Afrikaner oder nur unendlich viele Europäer gäbe? Auch das sind zwei verschiedene Unendlichkeiten und nicht nur eine. Allen mathematischen Formeln zum Trotz.
Nein, ist nicht mehr, zumindest für Mathematiker nicht.
Wenn du meinst, Recht zu haben, dann veröffentliche deine Idee in einer wissenschaftlichen Zeitung! Ich schätze, dass du soweit gar nicht kommst.
Lies mal das hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel
Es geht darum, wann unendliche Mengen gleich viele Elemente haben. Darauf wurde hier schon mit dem Begriff "Mächtigkeit von Mengen" hingewiesen.
Vergiss diese Formeln und überlege mal unvoreingenommen, was ich schrieb. Noch mal anders formuliert: Stelle Dir unendlich viele Menschen vor, die jeweils eine Tasche tragen. Dann gibt es sowohl unendlich viele Menschen als auch unendlich viele Taschen. Kein Mathematiker kann mir sagen, dass unendlich viele Menschen und (!) unendlich viele Taschen noch zusätzlich (!) nur genausoviele "Substanzen" seien wie unendlich viele Menschen ohne unendlich viele Taschen noch zusätzlich. Das widerspricht dem gesunden Menschenverstand. Ich kann noch 1 + 1 zusammenzählen.
Vielleicht trifft Deine These der Unendlichkeit zu, wenn es nur um eine Sache geht. Wenn jedoch zwei verschiedene Sachen beide jeweils unendlich oft vorhanden sind, dann sind das zwei Unendlichkeiten und nicht nur eine.
Alle, die dir hier antworten, sagen dir dasselbe: Schau dir bitte an, was unendlich überhaupt bedeutet und was es bedeutet, dass zwei Mengen die selbe Mächtigkeit haben. Warum gehst du darauf so gar nicht ein?
Oder andersherum: Was bedeutet für dich eigentlich unendlich?
Offensichtlich verstehe ich das nicht. Vielleicht habe ich deshalb auch in der Schule mathemathische Probleme gehabt.
Diese Unendlichkeit ist trotzdem genauso groß (gleichmächtig) wie die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen (und damit auch der Menschen). Also abzählbar. Um das zu zeigen, reihst du alle Menschen, Tiere und Pflanzen einzeln auf und ordnest sie den Zahlenfolgen
1, 4, 7, 10, 13, ...
2, 5, 8, 11, 14, ...
3, 6, 9, 12, 15, ... zu.
Auch für Dich: Ein Mensch mit 10 Tieren ergibt 11 Lebewesen. 11 Lebewesen sind aber mehr als 1 Lebewesen. Unendlich viele Menschen (völlig egal, wie viele das sind), von denen jeder Mensch jeweils unendlich viele Tiere besitzt, ergeben, logischer Weise, unendlich mal unendlich viele Lebewesen, weil nur einfach unendlich viele Menschen nicht genauso viele Lebewesen sein können, wie unendlich viele Menschen, die noch zusätzlich jeweils unendlich viele Tiere besitzen.
Und doch sind die Unendlichkeiten gleichmächtig. Tja, so schön ist die Mathematik.
Das ist eine unlogische These, wie ich mit meiner Frage eindeutig bewiesen habe.
Nein, das hast du nicht. Das Problem ist, dass du zunächst einmal genau sagen musst, was 1. unendlich und 2. gleich bzw. mehr überhaupt heißt. Wenn du das auf eine sinnvolle Weise getan hast, dann reden wir weiter. Die anschaulichen Begriffe sind da nicht sonderlich hilfreich.
Wobei man ein bisschen aufpassen muss: der Fragesteller will ja unendlich oft kombinieren. Und in dem Moment wird's kritisch mit der Gleichmächtigkeit.
Ich dachte er wollte nur Menschen, Tiere und Pflanzen. Ah nein, ich überlas den Nebensatz, mit den Gegenständen und in die Unendlichkeit
Ne, er schreibt ja
"Den dann unendlich mal unendlich mal unendlich vielen Pflanzen werden wiederum, pro Pflanze, wieder unendlich viele Gegenstände zugeordnet und diese Multiplizierung geht unendlich in alle Ewigkeit weiter."
Also Menschen, Tiere, Pflanzen, Gegenstände, .......
in alle Ewigkeit weiter.
Und in dem Moment kommt er von irgendwelchen Tupeln (a_1, ... , a_n) zu unendlichen Folgen, und damit von der Mächtigkeit von N zur Mächtigkeit von R.
Irgendwie kann ich nicht glauben, dass der Fragesteller das so gemeint hat.
Wenn unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Fahrgästen vor Hilberts Hotel erscheinen und jeder Fahrgast unendlich viele Katzen dabei hat, dann bleiben wir immer noch in der Mächtigkeit von N. Also kann eine Hilberts Hotel angeschlossene Katzenpension mit unendlich vielen Katzenzimmern die Katzen aufnehmen.
Wenn es unendlich viele Kategorien von Dingen gibt, von denen die Fahrgäste jeweils unendlich viele mitbringen, sind wir vermutlich bei der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen.
Unendlich ist keine Zahl sondern ein Symbol. Daher kann man damit auch nicht richtig rechnen. Ausserdem gibt es ja nicht unendlich viele Menschen...
Um es noch verständlicher zu machen: Stelle Dir bitte 10 Menschen vor, von denen jeder je 10 Tiere besitzt. Das sind schon 100 Tiere. undsoweiter...
Menschen ohne Tiere sind weniger als Menschen mit Tieren usw. Mehr kann nicht genausoviel sein wie weniger.
Eben, deswegen rechnet man nicht mit UNENDLICH. Es ist ein Symbol, keine Zahl...
Du bist ungewillt, meiner Argumentation zu folgen.
Du sagst: Wenn in einer Menge ein Element drin ist, das in der andere nicht drin ist, aber alle umgekehrt alle aus der zweiten auch in der ersten sind, dann ist die zweite größer. (verstehst du, was ich meine?) Das trifft aber den Begriff der Unendlichkeit nicht.
Letzter Versuch: Stelle Dir unendlich viele Teller und unendlich viele Löffel vor. Das sind zwei verschiedene Sachen. Sind die Teller ohne die Löffel genauso viele Gegenstände wie die Teller mit Löffel? Und nehmen wir hypothetisch an, der Raum und die Zeit wäre auch jeweils unendlich. (Lassen wir mal die Raum-Zeit -Theorien weg) Das wären schon vier verschiedene Unendlichkeiten (Teller, Löffel, Raum, Zeit). Eine Unendlichkeit allein kann unmöglich genausoviel sein wie vier Unendlichkeiten zusammen. Sonst könnte man ebensogut behaupten, vier wäre nur genausoviel wie eins.