Es gibt keinen Grund, diese Klammern zu setzen - im Gegenteil, durch die Klammern veränderst du die Funktion grundlegend, und das macht deine Rechnung falsch.

Die Funktion ist

 Du setzt jetzt völlig willkürlich ein Paar Klammern:

 Das ist jetzt aber nicht mehr dieselbe Funktion! Wenn du deine Funktion ausmultiplizierst, dann bekommst du:

 Und das ist eine ganz andere Funktion als vorher. Und daher ist es auch kein Wunder, dass die Ableitung im weiteren dann falsch ist.

Wenn du die ursprüngliche Funktion ableitest, dann machst du das so:



Anwendung Summenregel:



Anwendung Regel für einen konstanten Faktor:



Ableitung von x ist 1, dann Anwendung der Kettenregel auf den hinteren Teil:



Ableitung von (-2x) ist -2



Zusammenfassen



Eine Interpretation des Binomialkoeffizienten ist die Anzahl der möglichen Auswahlen von k Elementen aus einer n-elementigen Menge:

Wenn ich aus einer 5-elementigen Menge 3 auswählen will, dann kann ich das gerade auf 5 über 3 = 10 mögliche Weise machen, ich kann nämlich auswählen

ausgewählt: 123 nicht ausgewählt: 45

ausgewählt: 124 nicht ausgewählt: 35

ausgewählt: 125 nicht ausgewählt: 34

ausgewählt: 134 nicht ausgewählt: 25

ausgewählt: 135 nicht ausgewählt: 24

ausgewählt: 145 nicht ausgewählt: 23

ausgewählt: 234 nicht ausgewählt: 15

ausgewählt: 235 nicht ausgewählt: 14

ausgewählt: 245 nicht ausgewählt: 13

ausgewählt: 345 nicht ausgewählt 12

Ein Beispiel wäre z. B. das ich bei einer Gruppe von 5 Studenten entscheide, welche 3 in der einen Arbeitsgruppe sind, die anderen beiden sind dann in der anderen. Offensichtlich ist es egal, ob ich die Dreiergruppe bestimme oder die Zweiergruppe, die jeweils anderen 2 bzw. 3 bilden dann die andere Gruppe.

Genauso ist das immer bei den Teilmengen: Ich kann entweder bestimmen, welche Elemente drin sind oder welche Elemente nicht drin sind. Und wenn ich k auswähle, dann wähle ich gerade n-k nicht aus.

Wenn ich von n Kugeln k auswähle und sie blau anmale und die übrigen n-k Kugeln rot anmale, dann hätte ich genauso n-k Kugeln aussuchen können, um sie rot anzumalen und dann den Rest blau.

Darum gilt die Gleichung.

Mit UCV meinst du U Unterraum von V, ja?

Schau dir mal die eindimensionalen UVR an.

Wenn V eindimensional ist, ist die Behauptung sowieso wahr. Also haben wir mindestens zwei linear unabhängige Vektoren, x und y.

Der von x erzeugte Untervektorraum wird auf sich selbst abgebildet, also wird x auf eine Vielfaches von sich abgebildet: f(x) = ax. Dasselbe gilt für y, also f(y) = by.

Und es gilt auch auch für den von x+y erzeugten UVR, also f(x+y) = c(x+y).

Da das ein Endomorphismus ist, gilt f(x+y) = f(x) + f(y). Also ist

c(x+y) = ax + by

cx + cy = ax + by

(c-a) x + (c-b) y = 0

Da x und y linear unabhängig sind (so haben wir sie ja gewählt), muss also

c-a=0 und c-b=0 sein.

Also ist a = b = c und mit lambda = a hast du das gewünschte lambda gefunden.

Iss, was dir schmeckt und womit du dich gut fühlst. Ob du 100% vegan lebst, 99% oder 10%, alles ist völlig in Ordnung. Mach aus deinem Essverhalten keine Religion. Damit hilfst du niemandem. Du bist kein besserer oder schlechterer Mensch, wenn du dich mal nicht so streng an deine Vorsätze hälst.

Kommt drauf an, wie du das mit der Hilfe meinst.

Wichtig ist, dass du von Anfang an versuchst, die Sachen wirklich zu verstehen. Du musst nicht wirklich alles selbst machen, aber wenn du merkst, dass du Sachen nicht verstehst, dann musst du diese Lücken füllen. Das heißt ja nicht, dass man auf jedem Blatt jede Aufgabe komplett alleine und ohne jede Hilfe lösen muss.

Ich hab ja selber Mathematik studiert und viele Jahre lang auch Übungsgruppen betreut. Nach meiner Erfahrung gab es sehr viele Einzelkämpfer, die immer versucht haben, alles alleine zu machen, und die damit gescheitert sind. Deutlich besser sind die durchgekommen, die sich gerade in den ersten Semestern mit anderen Studis zusammen getan haben und in die Aufgaben gemeinsam gemacht haben (also nicht jeder eine Aufgabe, sondern wirklich gemeinsam bearbeitet). Das hilft aus den verschiedensten Gründen wirklich am meisten.

Es soll ja sein:



Damit in der Klammer aber wirklich nur (x-x_0) steht (und nicht (6x+3)), musst du das noch zu Ende umformen:

Das passt, denn x_0 ist ja -1/2. Und dann kommst du zu:









Eine Verschwindungsmenge ist eine algebraische affine Menge, eine algebraische affine Menge ist eine Verschwindungsmenge.

Trotzdem sind die beiden Begriffe nicht austauschbar.

Nimm mal als Analogie den Begriff Erzeugnis einer Menge von Vektoren in endlichen Vektoren. Das Erzeugnis einer solchen Menge ist immer ein Untervektorraum. Und jeder Untervektorraum lässt sich als Erzeugnis einer Menge von Vektoren betrachten. Trotzdem sind das verschiedene Begriffe. (Wie immer bei Analogien: passt nicht alles ganz genau).

Hier ist es ähnlich: Auf der einen Seiten hast du einen Haufen Polynome, aus denen lässt sich eine Verschwindungsmenge bilden. Auf der anderen Seite hast du eine Menge, für die so ein Haufen Polynome existiert (vielleicht sogar mehrere Haufen von Polynome), dass die Verschwindungsmenge dieses Haufens (und eben auch der anderen Haufen) gerade meine Menge ist.

Es ist ein bisschen die Betrachtungsrichtung. Einmal suchst du die Menge zu den Polynomen, einmal stellst du fest, dass es zu einer Menge solche Polynome gibt.

Da steht: Wenn x größer als Null ist, dann bleibt die Zahl so. Wenn x negativ ist, dann wird noch ein Minus davor gesetzt, so dass aus der negativen Zahl eine positive wird. Also: Es kommt immer was positives heraus, und genau das macht der Betrag.

Das einzige, das an dieser Definition ein Problem ist, dass der Fall x=0 vergessen worden ist, an einer der beiden Stellen muss noch das gleich dazu, üblicherweise oben.

Die Quadratur des Kreises ist die - bewiesenermaßen unlösbare - Aufgabe, allein mit der Hilfe von Lineal und Zirkel aus einem Kreis ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren.

Es gibt in der Geometrie die sogenannten Konstruktionsaufgaben. Du hast z. B. eine Fläche und sollst dazu eine Fläche konstruieren, die gerade doppelt so groß ist, das wäre einfach. Dabei sind immer nur ganz bestimmte Konstruktionsschritte erlaubt. Manche Dinge sind dabei einfach zu konstruieren, manche schwierig und manche (und dazu gehört die Konstruktion eines Quadrats, dass die gleiche Fläche wie ein gegebener Kreis hat) eben unmöglich.

Und weil das unmöglich ist, ist daraus ein geflügeltes Wort geworden: Wer sich auf die Suche nach einer nicht möglichen Lösung macht, der versucht die Quadratur des Kreises.

Dann wäre jeder Punkt p, der in S liegt, automatisch ein Häufungspunkt von S. Denn p liegt in jedem U und wenn p auch noch in S liegt, dann liegt p auch im Schnitt von S und P, also wäre dieser Schnitt nie leer.

Das soll aber aber nicht sein, denn es kann auch Punkte in S geben, die keine Häufungspunkte von S sind, z. b. isolierte Punkte.

Bei Potenzfunktion sollte kubische Funktion stehen, schließlich sind auch quadratische Funktionen Potenzfunktionen. Allgemein wäre eine Potenzfunktion eine Funktion der Form x^n, aber x³ ist eine besondere, nämlich eben die kubische.

Warum steht beim Definitionsbereich der quadratischen Funktion x größer gleich 0? Ich kann doch ohne Probleme auch die negativen Werte einsetzen...

Warum schließt du bei der Wurzelfunktion die 0 aus? Da müsste jeweils größer gleich Null stehen.

Bei den Grenzwerten gehört dazu, in welche Richtung der Grenzwert gemeint ist, gegen plus oder -unendlich. Sonst ist das mit der Null bei der Hyperbel und der e-Funktion komisch. Ich würde auch die uneigentlichen Grenzwerte dazu nehmen

Satz des Pythagoras:

Du hast ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle Seiten gleich 5 cm sind. Darum hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 5, einer Kathete 5/2 und einer Kathete h1.

Also:

5² = (5/2)² + h1²

Oder h1 = Wurzel aus (5² - (5/2)²) = 5 * wurzel (3/4) = 5/2 * wurzel(3)

Eine Folge kann man als Funktion von den natürlichen Zahlen auf eine geeignete andere Menge (kommt auf die Folge drauf an) verstehen.

Umgekehrt kann man ganz selbstverständlich jede Funktion von den natürlichen Zahlen auf irgendwas auch als Folge verstehen. Wenn man jetzt ein andere Definitionsmenge nimmt, dann hat man streng genommen keine Folge mehr.

Einfach nach z auflösen:

und fröhlich ausmultiplizieren:



Was ist denn die Stammfunktion von 1?

Ja, das x kürzt sich weg. Und dann integrierst du noch. Und da vor dem zweiten Integral ein Minus steht, musst du das abziehen.

int 1 dx = x + c.

Die Stammfunktion von f(x) = 1 ist F(x) = x.

Wo genau hakt es denn? Du müsstest doch jetzt da stehen haben

richtig?

Das musst du jetzt nur noch zu Ende umformen. Und da du ja schon weißt, was rauskommen soll, ist das jetzt nur noch ein winziger Schritt. Also, wo genau kommst du nicht weiter?

Kleiner Tipp: 2n + 3 = 2n + 1 + 2. Damit kommst du so zum Ziel:

     Und da wollen wir ja hin.

Ja, bei 1,5 hat die Funktion den Wert 15. Aber: Das absolute Glied ist der Achsenabschnitt der y-Achse, also der Wert, den die Funktion bei 0 hat, nicht bei 1,5.

Darum musst du das anders rechnen: Du hast zwei Punkte, durch die du eine Gerade legen kannst: (1,5 ; 15) und (3 ; 7,5). Du weißt schon, dass du die Steigung hier -5 beträgt, hast also

f(x) = -5x + b

Wenn du jetzt den Punkt (1,5 ; 15) einsetzt, dann steht da

15 = -5 * 1,5 + b = -7,5 + b

also muss b = 22,5 gelten.

Oft hast du als Anfangspunkt so was wie (0, irgendwas), wenn du das einsetzt, hättest du

irgendwas = f(0) = m * 0 + b = b und du kannst den Anfangswert dann direkt benutzen, aber das geht eben nur dann, wenn du wirklich bei 0 anfängst - und das machst du hier nicht.

Und genau dasselbe hast du auch bei der dritten Teilfunktion: Du kennst einen Punkt, nämlich f(3) = 7,5. Und du kennst die Steigung, die ist 5. Das setzt du ein:

7,5 = f(3) = 5 * 3 + b = 15 + b. Und dann kommt heraus, dass b = -7,5.

Also merke: Du kannst den Anfangspunkt nur dann als absolutes Glied nehmen (oder wie auch immer ihr das nennt), wenn du tatsächlich bei 0 anfängst. Sonst musst du das einsetzen.

c ist eine (zwischen 0 und 30.000) frei wählbare Zahl. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt (zwei Gleichungen für drei Variablen). Daher kann man dann eine der drei Variablen frei wählen, in diesem Fall hat man z ausgesucht. Wenn man dann z festgelegt hat, kann man im folgenden die anderen beiden ausrechnen.

Eigentlich ist die zweite Gleichung

0,07 * x + 0,06 * y + 0,05 * z = 2000

Das ist die Summe der Erträge (hier: Zinsen mal Anlagesumme) der drei Anlagen. Weil aber niemand Lust auf krumme Zahlen hat, wurde die Gleichung mit 100 multipliziert. Daher die 200000.

Du kannst die Zahl in Primzahlen zerlegen. Für jede Zahl gibt es eine eindeutige Zerlegung in Primzahlen, also z. b. ist

 Wenn bei dieser eindeutigen Zerlegung alle Hochzahlen gerade sind, dann ist die Zahl eine Quadratzahl.

Mit 11 bist du in der 5. oder 6. Klasse, richtig? Im letzten Jahr sahen die Aufgaben z. B. so aus: https://www.mathe-kaenguru.de/chronik/aufgaben/downloads/kaenguru2023_56.pdf