Kann mir das jemand erklären?
Sei f: V → V ein Endomorphismus, für den jeder Untervektorraum UCV invariant ist. Folgern Sie, dass f eine Homothetie ist, also f = lambda*idv für ein Skalar lambda aus K.
Ich kenne all diese Begriffe aber kann die Aufgabe nicht lösen
Was heisst UCV-invariant? Ich kenne den Begriff nicht…
wenn a∈U ist folgt daraus das auch f(a)∈U ist
1 Antwort
Mit UCV meinst du U Unterraum von V, ja?
Schau dir mal die eindimensionalen UVR an.
Wenn V eindimensional ist, ist die Behauptung sowieso wahr. Also haben wir mindestens zwei linear unabhängige Vektoren, x und y.
Der von x erzeugte Untervektorraum wird auf sich selbst abgebildet, also wird x auf eine Vielfaches von sich abgebildet: f(x) = ax. Dasselbe gilt für y, also f(y) = by.
Und es gilt auch auch für den von x+y erzeugten UVR, also f(x+y) = c(x+y).
Da das ein Endomorphismus ist, gilt f(x+y) = f(x) + f(y). Also ist
c(x+y) = ax + by
cx + cy = ax + by
(c-a) x + (c-b) y = 0
Da x und y linear unabhängig sind (so haben wir sie ja gewählt), muss also
c-a=0 und c-b=0 sein.
Also ist a = b = c und mit lambda = a hast du das gewünschte lambda gefunden.
Wie schliesst du auf f(x) = ax für alle x?
Wenn man als Untervektorraum span(x) wählt, gilt wegen der Invarianz, dass f(x) aus span(x) ist. Es muss also f(x) = a x sein mit a aus K.
Induktiv?
Für einen n dimensionalen Vektorraum V kann man es so machen, dass man - wenn {v_1, ..., v_n} eine Basis von V ist - die Gleichungen
f(v_1 + ... + v_n) = f(v_1) + ... + f(v_n)
k (v_1 + ... + v_n) = k_1 v_1 + ... + k_n v_n
(k – k_1) v_1 + ... (k – k_n) v_n = 0
aufstellt mit f(v_i) = k_i v_i (k_i aus K) und f(v_1 + ... + v_n) = k (v_1 + ... + v_n) (k aus K).
Mit der letzten Gleichung und der linearen Unabhängigkeit von den v_i erhält man dann k_1 = ... = k_n = k.
Wenn die Basis nicht abzählbar ist?
Damit kenne ich mich leider nicht ansatzweise aus.
Ich schließe das (zunächst) nicht für alle x. Ich sage: Es gibt zwei linear unabhängige Vektoren, x und y. Für jeden dieser beiden gibt es jeweils einen Skalar, für x gibt es a, für y gibt es b.
Und dann zeige ich, dass dann a = b gilt.
Wenn ich jetzt einen beliebigen weiteren Vektor habe, geht das genauso: entweder der ist linear abhängig von meinem ersten x, dann hat der die Form z = dx, dann ist
f(z) = f(dx) = d f(x) = dax = a dx = a z (fertig)
oder eben nicht, und dann habe ich das ja gerade gezeigt.
Macht hier aber auch gar nix. Ich habe einen Vektor x, für den kann ich ja zeigen, dass es einen Skalar a gibt mit f(x) = ax. Jetzt habe ich einen zweiten Vektor, der entweder linear abhängig von x ist (also ein Vielfaches), dann ist
f(z) = f(dz) = df(z) = dax = a dx = az, also bin ich fertig.
Oder die beiden sind nicht linear abhängig, und den Fall habe ich ja in der Argumentation oben erschlagen. Was für eine Basis ich habe, ist gar nicht interessant.
Ja eben, einen beliebigen weiteren Vektor, und noch einen, und noch einen... Du musst es aber für alle zeigen. Daher dachte ich an Induktion, die aber Abzählbarkeit benötigt.
wie kommt man hier auf das c was hat das hier zu bedeutet f(x+y) = c(x+y) und muss man noch nicht die invariante in spiel bringen?
Auch x+y ist ein Vektor aus V. Auch für den von x+y erzeugten UVR gilt die Invarianz, und darum gibt es ein c, so dass die Gleichung f(x+y) = c(x+y) erfüllt ist.
Nicht noch einen und noch einen. Für jeden beliebigen.
Ich brauche keinen Induktionsbeweis, weil ich das direkt zeige kann.
Ich kann eine Eigenschaft auch direkt zeigen, ich muss das nicht induktiv machen, auch bei unendlichen Mengen nicht.
Für jeden Vektor x gibt es ein a, so dass f(x) = ax ist. Das ist eine Folge der Invarianz.
Ich habe jetzt zwei Vektoren, x und y. Dann ist die Summe von x und y wieder ein Vektor, ich kann den gerne auch z nennen, z = x + y.
Nach dem vorher gesagten gibt es auch für den Vektor z einen Skalar (und den nenne ich jetzt c), für den gilt
f(z) = cz.
Soweit klar?
Wenn ich jetzt für z gerade x+y einsetze, dann habe ich
I. f(z) = f(x+y) = c (x+y) = cx + cy.
Immer noch klar?
Andererseits hatte ich ja für x und y einzeln (jeweils wieder wegen der Invarianz) gesagt, dass es einen Skalar a und einen Skalar b gibt, so dass
II. f(x) = ax und f(y) = by gilt.
Da f ein Endormorphismus ist, gilt ganz allgemein f(x+y) = f(x) + f(y). In unserem Fall (z = x+y) gilt also:
III. f(z) = f(x+y) = f(x) + f(y)
ok?
Wenn ich in III. jetzt I. und II. einsetze, dann steht da:
cx + cy = ax + by.
Das kann ich umformen zu
(c-a)x + (c-b)y = 0
Bis hierher klar?
Jetzt habe ich aber angenommen, dass x und y linear unabhängig sind. Das bedeutet, dass es genau eine Möglichkeit gibt, aus x und y den Nullvektor zu bekommen, nämlich dann, wenn beide Koeffizienten 0 sind, also:
c-a = 0 und c-b = 0
Und daraus folgen c = a, c = b und also b=a. Und letzteres wollte ich zeigen.
was muss man bei der aufgabe eigentlich zeigen das f ein vielfaches der identität ist?
Ja, steht doch da: f = lambda*idv
Das bedeutet nichts anderes, als das es ein Lambda gibt, so dass für alle x aus V
f(x) = lambda * x
gilt.
Ich nehme a, weil ich zu faul bin, immer Lambda zu schreiben.
Wie schliesst du auf f(x) = ax für alle x? Gezeigt hast du das zunächst nur für beliebige Paare x, y bzw. deren Erzeugnis. Induktiv? Wenn die Basis nicht abzählbar ist?