Lineare Un/Abhängigkeit mit Parameter?

So wie ich es verstanden habe können 4 Vektoren im 3 dimensionalen Raum niemals unabhängig sein, da sich einer der Vektoren immer als eine Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Wie kann ich das an diesem Beispiel nachweisen, muss ich dafür einen Wert für k einsetzen?

Und zu b, ich habe es mit einem LGS versucht bin aber nicht weitergekommen. Irgendwelche Lösungsansätze?

LG

Answer 1

[eterneladam]

Du kannst die Menge B direkt als Parameter für ein lineares Gleichungssystem nehmen und dann dieses mit dem Gauss-Algorithmus bearbeiten; zweite Zeile minus erste Zeile, dritte Zeile minus (-6-2k)-faches der zweiten Zeile. In der Dreiecksform dürfen auf der Diagonalen nur Einträge ungleich Null stehen, wenn der Rang der Matrix 3 sein soll, bzw. drei linear unabhängige Vektoren da sein sollen. Du kannst k so bestimmen, dass das unterste Diagonalelement gleich Null wird.

Comments

[Jshwufjwb]

wieso die dritte zeile minus das -6-2k fache der zweiten? meinst du -5-2k?

[eterneladam]

@Jshwufjwb

Ich habe es zu knapp beschrieben, erst die zweite Zeile minus die erste, dann die dritte Zeile minus drei mal die erste, hier kommt das -6-2k zustande, deswegen dann dritte Zeile minus (-6-2k)-faches der zweiten Zeile.

[Jshwufjwb]

@eterneladam

danke dir mein freund ich habe es endlich verstanden! frohes neues 😁

Answer 2

[Rammstein53]

Man nimmt jeweils einen Vektor aus der Menge der Vektoren und prüft auf lineare Abhängigkeit der drei verbleibenden. Dadurch entstehen 4 Determinanten:

Det (ohne Vektor 1) = -2k³ + 12k² + 18k + 4

Det (ohne Vektor 2) = 5k²  +23k +26

Det (ohne Vektor 3) = -2k²  -8k -8

Det (ohne Vektor 4) = -4k² -19k -22

Da es um die Entnahme es beliebigen Vektors geht, müsste es ein k geben, was alle 4 Determinanten auf Null setzt. Das gilt für k = -2.

Für k = -2 ergeben sich folgende Vektoren

v1 = [1,1,3]

v2 = [2,1,4]

v3 = [3,2,7]

v4 = [4,3,10]

Wegen v3=v1+v2 und v4=v1+v3, ergeben sich alle Linearkombinationen aus v1 und v2.

Comments

[Jshwufjwb]

Danke für deinen Vorschlag! Wir sind allerdings noch nicht so weit und haben die Determinanten noch nicht behandelt. Gibt es einen alternativen Lösungsweg?

LG