Wann bilden Vektoren ein Erzeugendensystem?
Wenn Vektoren linear unabhängig sind bilden sie automatisch ein Eurzeugendensystem? Oder wie kann man das verstehen?
1 Antwort
Nein, ein Vektor (solange er nicht 0 ist) ist automatisch linear unabhängig, er allein bildet aber kein erzeugendensystem, wenn die Dimension vom Vektorraum größer als 1 ist.
Wenn der Vektorraum n Dimensional ist, muss die Menge n Vektoren enthalten, die linear unabhängig sind, damit es ein erzeugendensystem ist (es dürfen noch andere Vektren dabei sein, es ist nur wichtig,g dass du n unabhängige wähken kannst)
Sorry ne meinte nicht Linearfaktor sondern die Determinante. Also jede Determinante muss gleich 0 sein bei der Berechnung des Nullvektors.
Ich glaub ich habs jetzt verstanden. Also: Wenn ich von n Vektoren in einem n Dimensionalen Vektorraum die Determinante berechne und diese ungleich 0 ist handelt es sich um ein Erzeugendensystem. Habe ich recht?
Und wenn die Determinante ungleich 0 ist bilden dann die Vektoren eine Basis des Vektorraums? Ja oder?
Z.b. In einem 3 dimensionalen Vektorraum muss es 3 Vektoren geben.
Für ein erzeugendensystem müssen es mindestens 3 Vektoren sein, für eine Basis exakt 3.
Ich glaub ich habs jetzt verstanden. Also: Wenn ich von n Vektoren in einem n Dimensionalen Vektorraum die Determinante berechne und diese ungleich 0 ist handelt es sich um ein Erzeugendensystem. Habe ich recht?
Dann hast du sogar eine Basis.
Und wenn die Determinante ungleich 0 ist bilden dann die Vektoren eine Basis des Vektorraums? Ja oder?
Nein, dann sind die Vektoren Linear abhängig, die spannen also den Raum nicht auf
okay danke 👍 also ich fasse zusammen wie ich es verstanden habe. Z.b. In einem 3 dimensionalen Vektorraum muss es 3 Vektoren geben. Wenn man jetzt mit dem Gram-Schmidt Verfahren schaut ob die Vektoren linear unabhänigig sind oder nicht muss bei jedem Vektor der Linearfaktor ungleich 0 sein. Wenn dies zutrifft sind die Vektoren ein Erzeugendensystem.
Falls einer der Vektoren ein Linearfaktor gleich 0 hat. Handelt es sich um kein Erzeugendensystem.
Ist das richtig wie ichs verstanden habe?