Wann habe ich ein Erzeugendensystem?
Angenommen ich habe 3 Vektoren v1, v2 und v3 in R^3 die Linear unabhängig sind. Und ich kann mit den Vektoren einen beliebigen Vektor w durch Linearkombination darstellen. Dan bilden die 3 Vektoren v1, v2 und v3 eine Erzeugendensystem? Wenn aber die 3 Vektoren linear abhängig sind und ich dennoch durch Linear Kombination einen beliebigen Vektor w darstellen kann, sind die Vektoren dann auch ein Erzeugendensystem?
2 Antworten
Wenn die Vektoren linear abhängig sind, kannst du nicht jeden Vektor des Vektorraums darstellen. Sie sind ein Erzeugendensystem eines Unterraumes.
Wenn drei Vektoren in R^3 linear abhängig sind, kannst Du damit nie jeden Vektor in R^3 erreichen - die 3 Vektoren können also kein Erzeugendensystem sein…
In keinem endlich-dimensionalen Vektorraum - die Anzahl der linear unabhängigen Erzeugenden muss der Dimension des Vektorraumes entsprechen…
Das wäre eine Basis. Da müssen die Vektoren linear unabhängig sein.
Hier können 3 Vektoren einen zweidimensionalen Unterraum erzeugen. (Eine entsprechende Basis hätte natürlich nur zwei Basisvektoren)
Ich habe ja geschrieben, dass ein Erzeugendensystem eines n-dimensionalen Vektorraumes n linear unabhängige Vektoren - somit eine Basis - enthalten MUSS; es kann natürlich auch mehr als n Vektoren enthalten, die lassen sich dann aber bereits durch die n linear unabhängigen erzeugen und sind damit überflüssig…
Zumindest nicht vom R³