Was sind mögliche 3 Vektoren, die linear abhängig sind, aber nicht durch einander darstellbar sind?

Vektoren a sind in R^2 und Skalare in R $a1̸=λ2a2+λ3a3$

Lineare Abhängigkeit heißt mindenstens ein Vektor ist als Kombination der anderen darstellbar.

Comments

[Jangler13]

nicht durch einander darstellbar

Meinst du, dass mindestens einer der drei Vektoren nicht durch die anderen dargestellt werden kann, oder dass es für jeden der 3 gelten soll?

[steve123987]

Ersteres, also nur a1̸=λ2a2+λ3a3

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Wenn ein Vektor nicht durch die anderen beiden darstellbar sein soll, müssen die anderen beiden linear abhängig sein, denn wenn sie linear unabhängig wären, würden sie bereits den gesamten ℝ² erzeugen. Zwei Vektoren sind also linear abhängig und der dritte liegt nicht in dem Spann.

Eine einfache Lösung wäre zweimal der Nullvektor und ein anderer, der dann nicht durch die Nullvektoren darstellbar ist.

Answer 2

[FataMorgana2010]

Du kannst z. B. die Vektoren

$\binom{1}{0},\ \binom{0}{1},\binom{0}{0}$ nehmen.

Da 1. der Nullvektor dabei ist und 2. drei Vektoren im R² immer linear abhängig sind, ist die erste Bedingung erfüllt. Aber für

$\binom{1}{0}=a\ \binom{0}{1}+b\binom{0}{0}$ gibt es offenbar keine Lösung.

Answer 3

[DANIELdjldqwj]

Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung, da die erste Komponente nicht gleichgesetzt werden kann. Daher sind die Vektoren a1, a2 und a3 linear abhängig, aber nicht durch einander darstellbar.

Woher ich das weiß: Recherche

Comments

[steve123987]

Kamnst du dies genauer erklären?

[DANIELdjldqwj]

@steve123987

Ähm, ich kann es im Internet vllt nochmal rechachieren. Ob ich es dir vllt anderweitig und ausfürlich erklären kann.

[DANIELdjldqwj]

@steve123987

Wenn Vektoren a1, a2 und a3 in R^2 (zweidimensionalen Raum) gegeben sind und Skalare in R (reellen Zahlen) vorliegen, dann wollen wir drei Vektoren finden, die linear abhängig sind, aber nicht durch einander darstellbar sind. In anderen Worten suchen wir nach Vektoren a1, a2 und a3, die die folgende Bedingung erfüllen:

a1 ≠ λ2a2 + λ3a3 für alle Skalare λ2 und λ3

Ein Beispiel für drei solche Vektoren in R^2 könnte sein:

a1 = (1, 0)

a2 = (0, 1)

a3 = (1, 1)

Um zu zeigen, dass sie linear abhängig sind, müssen wir Skalare λ2 und λ3 finden, sodass die Gleichung a1 = λ2a2 + λ3a3 erfüllt ist. Wenn wir dies versuchen:

(1, 0) = λ2(0, 1) + λ3(1, 1)

Dann erhalten wir:

(1, 0) = (λ3, λ2 + λ3)

Hoffe, das hilft dir :/