Lineare Abhängigkeit Vektoren?
Hallo, ich möchte folgende Aufgabe gerne lösen:
(ich habe sie abfotografiert, weil ich die Vektoren sonst nicht formatieren kann)
1.)
a: Ordnen Sie die Vektoren nach ihrer Länge
b: Geben Sie begründet jeweils die Vektoren an, unter denen eine lineare Abhängigkeit besteht.
c: Auch drei Vektoren können linear abhängig sein. Dieses trifft z.B. für die Vektoren a, e und f zu. Stellen Sie eine Vermutung an, woran man das erkennt.
Da ich mir das selber beibringen muss, es aber immer durch die Erklärungen und Hilfe hier verstehe und dann auf weitere Aufgaben anwenden kann, würde ich mich sehr über Hilfe freuen, damit ich das nachvollziehen kann.
1 Antwort
Die Länge eines Vektors ermittelt man über eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras. Das funktioniert nämlich auch im dreidimensionalen Raum.
Die Länge des Vektors a ist z.B. Wurzel(1² + 4² + 2²).
Wenn man die Längen nur vergleichen will, kann man sich das Ziehen der Wurzel sparen.
Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren erkennt man daran, dass ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
Z.B. (-1 | 4 | 2) * (-0,5) = (0,5 | -2 | -1)
Also sind a und d linear abhängig.
Auch ist a von c linear abhängig, also sind a, c und d linear abhängig.
a, e und f sind übrigens nicht linear abhängig.
Nachtrag wegen Fehler:
Ich habe hier die lineare Anhängigkeit dreier Vektoren falsch verstanden. Danke an Rhenane für den Hinweis. (Ich war von paarweiser linearer Abhängigkeit ausgegangen.)
Wenn man für jeden der drei Vektoren einen Faktor finden kann, mit dem man den Vektor multipliziert und dann die Summe der drei Vektoren den Nullvektor ergibt und nicht alle Faktoren 0 sind, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Da ergibt sich für a, e und f
1 * a + (-1) * e + (-1) * f = 0
1 * (-1 | 4 | 2) + (-1) * (1 | -2 | 12) + 1 * (2 | -6 | 10) = (0 | 0 | 0)
Zur Frage, wie man zu den Faktoren kommt:
Man kann immer irgendwie so kürzen, dass ein Faktor 1 ist, Z.B. der vor a. Dann stellt man nach a um:
(-1 | 4 | 2) = p * (1 | -2 | 12) + q * (2 | -6 | 10)
Das ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten. Wenn es lösbar ist, sind die Vektoren linear abhängig.
-1 = 1 * p + 2 * q
4 = -2 * p - 6 * q
2 = 12 * p + 10 * q
p = 1 und q = -1 ist die Lösung, also sind die Vektoren linear abhängig.
In der Praxis löst man das Gleichungssystem aus zwei der drei Gleichungen und setzt die gefundene Lösung in die dritte ein und guckt, ob es passt.
Die drei Vektoren sind linear
gegeben: Vektor a, b und c.
gibt es eine Lösung für die Gleichung x*Vektor a + y*Vektor b + z*Vektor c = 0, dann sind diese 3 Vektoren linear abhängig (natürlich muss einer der drei Koeffizienten ungleich Null sein)
in Deinem Beispiel sieht man relativ schnell/leicht, dass e-f den Vektor a ergibt, d. h. a-(e-f)=0 bzw. a-e+f=0
(und sehe nun, dass ich mich in meinem ersten Kommentar vertan habe...: habe dort bei e und f die Vorzeichen vertauscht!)
Wenn es mal nicht so offensichtlich ist, musst Du aus der Gleichung xa+yb+zc=0 die drei Gleichungen für die 3 Koordinaten bilden und das so entstehende Gleichungssystem lösen.
Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung. Könnten Sie mir vielleicht nochmal bei c behilflich sein? Das verstehe ich nicht, wie man das erkennen kann, dass a, e und f linear abhängig sind.