Du musst überlegen, wie Du die beschreibenden Sätze in mathematischen Gleichungen ausdrückst. (ich würde das an deiner Stelle ohne die vorgegeben "Schnipsel" versuchen zu lösen, und anschließend die Vorgaben deinen Lösungen zuordnen - so lernst Du es meiner Meinung nach eher als die Lösungen evtl. teilweise durch Ausschlussverfahren zu ermitteln/"erraten"!)

(1) die Mutter ist dreimal so alt wie Alina, d. h. wenn Du Alinas Alter mit 3 multiplizierst, dann sind beide Alterszahlen gleich, also:

(I) M=3*A (ich würde auch, wenn möglich, aussagekräftigere Variablennamen nehmen, statt x für Mutter und y für Alina, wie in den Lösungen...)

"Vor 5 Jahren" bedeutet, Du musst von dem heutigen Alter 5 abziehen. Damals waren sie zusammen 50, also:

(II) (M-5)+(A-5)=50

Dieses Gleichungssystem musst Du nun lösen. Am einfachsten, indem Du das Alter der Mutter (M) aus Gleichung (I) in (II) für M einsetzt und dann das (heutige) Alter von Alina (A) ausrechnest. Anschließend kannst Du leicht M ermitteln.

So gehst Du auch bei den anderen Aufgaben vor...

Du hast ein gleichseitiges Dreieck mit bekannter Seite (d. h. alle Seiten sind bekannt).

Die Flächenformel bei Dreiecken lautet allgemein: A=1/2 * a * h_a. Wenn Du dir eine Skizze von einem gleichseitigen Dreieck machst, wirst Du die Höhe (wenn Du diese ebenfalls einzeichnest) recht leicht ausrechnen können (oder sie steht evtl. irgendwo in deiner Formelsammlung...).

Oben drüber steht die Funktionsgleichung allgemein in der Form f(x)=1/(x-b).

Das b gibt die Verschiebung in x-Richtung an gegenüber der "Standard-Hyperbel" f(x)=1/x.

D. h. bei a) f(x)=1/(x-3) gilt einfach nur b=3, d. h. diese Funktion ist gegenüber f(x)=1/x um 3 Einheiten nach rechts verschoben. D. h. zudem, dass das b auch die senkrechte Asymptote angibt.

Allgemein gilt: mit f(x-b) wird eine Funktion f(x) um b Einheiten in x-Richtung verschoben - bei positivem b nach rechts, bei negativem nach links [d. h. bei Aufgabe c) wurde die Hyperbel 1/x um 3 Einheiten nach links verschoben: f(x)=1/(x-(-3))=1/(x+3)]

x=4 * 53/22 - 7 = (4*53)/22 - 7 * 22/22) = 212/22 - 154/22 = 58/22

x² ausklammern, also die höchste gemeinsame Potenz, bringt nur was, wenn Du die Nullstellen berechnen musst.

Bzgl. des Randverhaltens klammerst Du die insgesamt höchste Potenz aus, also x^4.

Dann erhältst Du in diesem Fall den Term x^4(3 + 3/x - 6/x²).

Bildest Du nun den Grenzwert für x->+/-unendlich, dann laufen die beiden Brüche gegen 0 (Nenner werden immer größer, also die Brüche mit konstantem Zähler immer kleiner) und es bleibt in der Klammer 3 übrig. x^4 ist wegen des geraden Exponenten immer positiv, also kommt als Grenzwert (bei Multiplikation mit dem positiven Faktor 3) jeweils plus-unendlich raus.

Zusammenfassen kann man nur Summanden, die dieselben Unbekannten enthalten (auch was die Exponenten angeht).

Vorne hast Du die Unbekannten a²b, dann kommen ab und ba und hinten ab². Die Reihenfolge der Unbekannten ist egal, da man sie bei Multiplikationen ja beliebig vertauschen kann. D. h. hier kann man die beiden inneren Summanden zusammenfassen.

Also: (-8,1+7,3=-0,8)

2,5a²b-0,8ab-1,9ab², mehr geht nicht. Da könnte man jetzt 'ab' ausklammern, aber das wäre kein "Zusammenfassen" mehr...

Zuerst zeichnest Du die 3 Äste für die drei Kugeln aus Behälter A und von da jeweils abgehend die 4 Äste für die Kugeln aus Behälter B.

2b) Du teilst die Spalten/Zeilen auf in "100m<13s" und "100m>=13s" bzw. "Hochsprung mindestens 2" und "Hochsprung schlechter 2" (oder was Dir halt als besseres einfällt).

Die Summe "100m<13s" (äußere Zelle) ist 12; in die Zelle "<13s" und "Hochsprung min. 2" kommt die 10; in ">=13s" kommt der Wert 3, denn mit "die anderen Schülerinnen" sind die gemeint, die langsamer als 13 sek laufen. Der Rest ergibt sich dann aus Addition (Gesamtsumme unten rechts ist 22)

2c) Du unterscheidest "weiblich"/"männlich" und ">60"/"<=60". In die Gesamtsummenzelle unten rechts kommt die 800. Summenzelle "weiblich"=480; Summenzelle ">60"=560. Die innere Zelle "weiblich/>60" hat den Wert 400. Alle anderen Zellen ergeben sich wieder durch addieren.

Du konntest z. B. auf 4/10 kürzen, weil r=400 bei insgesamt 1.000 Kugeln war. Jetzt ist r aber nicht genau bekannt, d. h. Du musst r/1000 stehen lassen und nicht r/10.

Entsprechend musst Du im Folgenden im Zähler bzgl. der weißen Kugeln die unbekannte Anzahl roter Kugeln von 1000 abziehen, also (1000-r)/1000 rechnen und nicht (10-r)/10 !

Alex1513 wusste auch nicht weiter...:

https://www.gutefrage.net/frage/5-huehner-legen-20-eier-in-8-tagen-in-wie-vielen-tagen-legen-37-huehner-761-eier-runde-auf-ganze-tage

Die Nullstellen der Ableitung sind mögliche Extremstellen der Funktion. Man könnte deinen Satz auch so verstehen, dass die Nullstellen einer Funktion bei deren Ableitung Extremstellen seien, was natürlich falsch ist!

Die Extrema der Ableitung sind Wendestellen der Funktion. Die Wendepunkte der Ableitung sagen "nichts besonderes" über die Funktion aus.

Du benutzt zweimal quasi denselben Satzaufbau, aber die Satzbausteine stehen oben anders zueinander als unten... (oben bezieht sich "Nullstellen" auf "die Ableitung" und "Extrema" auf "einer Funktion" und unten, denke ich mal, bezieht sich "Wendepunkte" auf "einer Funktion", nicht auf "Ableitung" - das ist etwas verwirrend!)

Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert an einer Stelle x0 mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, dann ist die Funktion dort "allgemeingültig" stetig (also durchgehend über diesen Punkt hinaus).

Stimmt nur einer der Grenzwerte mit dem Funktionswert an dieser Stelle x0 überein, dann ist auch nur dieser Teil bis zu dieser Stelle stetig. Danach macht die Funktion einen Sprung auf den Grenzwert der "anderen Seite".

Beispiel: f(x)=1 für x<=0 und f(x)=2 für x>0.

x0=0 => l-lim x->0 f(x)=1; r-lim x->0 f(x)=2; f(0)=1=l-lim => f ist linksseitig stetig an der Stelle x0=0. (danach macht der Graph einen Sprung von y=1 auf y=2)

Geschwindigkeit = Strecke/Zeit

D. h. oben die y-Werte sind bereits Streckenlängen, d. h. dort wird die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen den Punkten P1(x1|y1) und P2(x2|y2) berechnet. Es muss im Nenner übrigen x2-x1 heißen, oder im Zähler y1-y2...

Diese Formel gilt für jede Funktion. Damit wird die mittlere Steigung zwischen 2 Punkten berechnet!

Unten geht es um das Zeitintervall von a bis b. Im Zähler ergibt das Integral die Einheit Strecke (es muss ja letztendlich Strecke/Zeit rauskommen), d. h. dort ist f(x) eine Geschwindigkeitsfunktion. D. h. unten wird die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen den Punkten P1(a|f(a)) und P2(b|f(b)).

a) passt

b) hier hast Du es mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P_w(A) zu tun [Wahrscheinlichkeit für Beutel A unter der Bedingung, dass weiß gezogen wurde]

Und das ist P(A n w)/P(w). P(A n w) ist die Wahrscheinlichkeit des "Pfades" A->w, also 1/3*6/10, das durch P(w), also durch 0,4833 ergibt 0,4898.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes lautet: A=1/2(a+c)*h

Entweder setzt Du zuerst die bekannten Werte ein und formst dann nach der einzig verbliebenen unbekannten Größe um, oder Du formst vorher um und setzt dann ein.

Damit Du schneller Feierabend hast, forme ich mal um...:

h=2A/(a+c)
a=(2A/h) - c
c=(2A/h) - a

Zuerst "zerlegst" Du beide Nenner in seine einzelnen Faktoren. Der Hauptnenner ist dann die "Vereinigungsmenge" dieser Faktoren, d. h. Du musst den ersten Bruch mit den Faktoren erweitern die der andere Nenner zusätzlich hat, und den zweiten Bruch mit den Faktoren, die der zweite Nenner gegenüber dem ersten nicht hat. (Vereinigungsmenge ist hier mathematisch falsch ausgedrückt - aber ich hoffe Du verstehst so besser was gemeint ist...)

Beispiel:

b1) hier hast Du links den Nenner 4b, das ist "komplett zerlegt" = 2 * 2 * b; rechts der Nenner lautet 2b², also =2 * b * b.
D. h. im linken Nenner fehlt gegenüber dem rechten einmal der Faktor b, und beim rechten fehlt gegenüber dem linken einmal der Faktor 2, d. h., wenn Du den ersten Bruch nun mit b erweiterst und den zweiten Bruch mit 2, dann lauten beide Nenner 2*2*b*b, also 4b². Dies ist dann der Hauptnenner.

Das Beispiel im Buch ist vielleicht etwas schwer nachvollziehbar, weil da "plötzlich" links mit (a-2) erweitert wurde. Das liegt daran, dass im rechten Nenner (a²-4) steht und das (3. binomische Formel) gleich (a+2)*(a-2) ist.

weiteres Beispiel:

b4) linker Nenner: 10x+10=10(x+1)=2*5*(x+1)
rechter Nenner: 5x²-5=5(x²-1)=5*(x+1)*(x-1) [wieder 3. binom. Formel]
D. h. hier musst Du den linken Bruch mit (x-1) erweitern, und den rechten mit 2. Somit ergibt sich als Hauptnenner: 2*5*(x+1)*(x-1)=10(x²-1).

2.1) Bruttolohn durch Anzahl gearbeiteter Stunden gleich Stundenlohn.

2.2) die Kirchensteuer wird von der Lohnsteuer berechnet und beträgt 9 % (keine Ahnung ob man das wissen muss... oder steht es irgendwo vorher? Fakt ist: in Bayern und Baden-Württemberg sind's 8 %, in allen anderen Bundesländern 9 %), also 9 % von 155,41 €.

2.3) der Arbeitnehmeranteil zur Krankenversicherung wird vom Bruttogehalt berechnet, also hier 8,4 % von 1.865,39 €.

Gefragt ist nach der Höhe des Ballons über dem Punkt P, d. h. Du setzt (3|6,5|h) mit der Geradengleichung gleich. Mit den Gleichungen für die x- und y-Koordinate sollte (und wird) der gleiche Wert für den variablen Geradenparameter rauskommen. Das bedeutet schon einmal, dass der Ballon tatsächlich über die Turmspitze fahren wird. Setzt Du diesen Parameter nun auch für die Gleichung der z-Koordinate ein (=Koordinate der Höhe), erhältst Du die Höhe des Ballons an dieser Stelle.

Korrekt. Mit (beliebigen) 3 der 4 Punkte spannst Du die Ebene auf (diese 3 liegen auf jeden Fall in einer Ebene) und testest dann, ob der vierte Punkt auch darin liegt.

Bei Zylinder und Prisma gilt jeweils: V=G*h.

V ist gegeben und G kannst Du leicht ausrechnen (beim Zylinder ist G sogar auch gegeben...).

Gesucht ist h, also die Formel danach umstellen: h=V/G.

V=30, also h=30/G.

Und G zu berechnen sollte kein Problem sein...

b) G=rechtwinkliges Dreieck

c) G=Prisma

d) G=Rechteck