Worin besteht der Unterschied zwischen Linear Abhängig und Linear Unabhängig (Vektoren)?

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2 Antworten

Du hast immer eine Linearkombination der Vektoren, die den Nullvektor ergeben - nämlich die, bei der die Faktoren vor den Vektoren alle Null sind (das ist die triviale Linearkombination). Sind die Vektoren linear unabhängig, dann gibt es NUR diese eine Linearkombination. Wenn es eine weitere Linearkombinationen gibt, dann sind die Vektoren linear abhängig. 

Beispiel: 

Vektoren (1, 4) und (3,7).

Ich suche eine Linearkombination 

a*  (1, 4) + b * (3, 7) = (0,0). 

Mit a= 0, b= 0 ist die Gleichung natürlich richtig. Wie man leicht überprüft, ist das auch die die einzige Lösung - die beiden Vektoren sind linear unabhängig. 

Vektoren (1, 4) und (3, 12) 

Auch hier gilt für a = b = 0, dass 

a*  (1, 4) + b * (3, 12) = (0,0). 

Allerdings ist das nicht die einzige Lösung (also Linearkombination), sondern auch für 

a= 3, b = -1 

ist die Gleichung richtig - also sind die beiden linear abhängig. 


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Kommentar von SammyIII
30.12.2015, 13:52

Super ... Vielen Dank ... habs verstanden! :)

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Immer wenn du herausfinden möchtest, ob zwei Vektoren voneinander linear abhängig oder unabhängig sind, dann schaust du dir nur die Richtungsvektoren an, die setzt du gleich und kuckst, ob der eine ein Vielfaches des anderen ist, also ob du einen davon mit irgendeiner Zahl multiplizieren kannst und dann der andere Vektor dabei raus kommt. Wenn das der Fall ist, dann sind sie linear abhängig, das bedeutet, dass sie "in die gleiche Richtung" verlaufen, also entweder parallel zueinander oder identisch (also direkt übereinander) verlaufen. Solche Vektoren schneiden sich dann entweder nie oder unendlich oft (eben wenn sie identisch sind).

Lässt sich jetzt kein gemeinsames Vielfaches finden, dann sind sie linear unabhängig, verlaufen also in verschiedene Richtungen.

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Kommentar von FataMorgana2010
28.12.2015, 18:16

Das gilt aber nur für zwei Vektoren. Wenn du im Raum mit drei Dimensionen drei Vektoren hast, kannst du das so nicht überprüfen. 

Z. B. ist das Tripel von Vektoren

(1,0,0), (0,1,0) und (1,1,0) linear abhängig - obwohl du keine Vielfachen hast.. 

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