6x * e^(3x+2) - 2 * e^(3x+2) =
(6x - 2) * e^(3x+2) =
f(x)*g(x)
mit
f(x) = 6x - 2
g(x) = e^(3x+2)
f'(x) = 6
g'(x) = 3*e^(3x+2)
f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x) = 18*x*e^(3x+2)
z³ = 1/8
z kann man auch so schreiben: |z| * e^(i*φ)
(|z| * e^(i*φ))³ = 1/8
|z|³ * (e^(i*φ))³ = 1/8
Daraus folgt
|z| = 1/2 und (e^(i*φ))³ = 1
Lösung:
φ*3 = 2*π*k für k=0,1,... --> φ = 2/3*π*k
φ1 = 0 für k = 0
φ2 = 2/3*π für k = 1
φ3 = 4/3*π für k = 2
φ4 = 6/3*π für k = 3
Die erste und die letzte Lösung fallen zusammen (und weitere sind periodisch), deshalb gibt es drei Lösungen
z = 1/2 * (cos(0) + i*sin(0))
z = 1/2 * (cos(2/3*π) + i*sin(2/3*π))
z = 1/2 * (cos(4/3*π) + i*sin(4/3*π))
Du brauchst Dir nur die Werte für sin(0), sin(30), sin(45), sin(60), sin(90) merken.
Die entsprechenden Werte für den cos(x) folgen aus:
sin²(x) + cos²(x) = 1
cos²(x) = 1 - sin²(x)
Die entsprechenden Werte für den tan(x) folgen aus:
tan(x) = sin(x)/cos(x)
Und statt sin(60) würde ich mir nur cos(60) = 1/2 merken.
sin²(x) = 1 - cos²(x)
Bleiben also nur die Werte sin(0) = 0, sin(30) = cos(60) = 1/2, sin(90) = 1
Und sin(45) = cos(45) = sqrt(2)/2 folgt einfach aus der Kantenlänge eines Quadrats mit einer Diagonalen der Länge 1.
e^(i*φ) = cos(φ) + i*sin(φ)
φ = π/6 = 30°
Der Realteil lautet cos(π/6) = sqrt(3)/2
Der Imaginärteil lautet sin(π/6) = 0.5
Die Tangentengleichung einer zweidimensionalen Funktion ist eine Tangentialebene:
f(x,y) = 5x² + 5y² - 6xy - 20
Partielle Ableitungen:
f'x(x,y) = 10x - 6y
f'y(x,y) = 10y - 6x
Die Tangentialebene durch den Punkt (a,b) lautet
T(x,y) = f'x(a,b)*(x-a) + f'y(a,b)*(y-b) + f(a,b)
Im Punkt (a,b) = (-2,0) :
f'(a,b)*(x-a) = -20*(x+2)
f'y(a,b)*(x-b) = 12*(y)
f(a,b) = 0
--> T(x,y) = -20*(x+2) + 12*y
Lässt man nur z = 0 zu, dann lautet die Schnittgerade von z = 0 und T(x,y):
-20*(x+2) + 12*y = 0
Daraus folgt: y = 5/3*x + 10/3
Das war mal eine Verarscher-Frage bei 9Live:
39 + 1 + 1 + 1 = 42 (mit der Behauptung 3 und 9 seien "Zahlen")
oder
39 + 1 + 1 + 1/1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)
oder
39 + 1 + 1 + 1*1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass aus 30 genau zwei, aber beliebige Zwiebeln nicht aufgehen. Und weitere zwei (am Anfang oder am Ende der Kette) ebenfalls nicht aufgehen. Es ginge dann um insgesamt 32 Zwiebeln.
Es sollen aber aus 30 Zwiebeln nur solche gezählt werden, die direkt nebeneinander liegen. Die Anzahl der möglichen Ereignisse sind dann nicht (30 über 2), sondern nur 29 Paare.
Was die Frage nach Bernoulli angeht, halte ich das Verständnis für Mathematik für wichtiger als die Anwendung von Formeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 Zwiebeln die ersten beiden in der Pflanzreihe nicht aufgehen, beträgt (hier p = 0.15)
P1 = p^2 * (1-p)^28
Die Wahrscheinlichkeit P1 gilt aber genauso für den Fall, dass die beiden Zwiebeln am Ende der Reihe stehen oder exakt auf Reihe Nummer 5 und 21.
Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebige Zwiebeln nicht aufgehen, dann gibt es (30 über 2) = 435 Fälle. Anders ausgedrückt kann man die zwei Zwiebeln in 435 Permutationen in der Pflanzreihe verteilen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann
P2 = (30 über 2) * P1 = 435 * P1
Streng genommen steht P1 in Summe 435 mal.
Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zwiebeln paarweise nicht aufgehen, dann gibt es nur noch 29 Fälle. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann
P3 = 29 * P1
Streng genommen steht P1 in Summe 29 mal.
Der Grenzwert existiert, wenn salopp gesagt das h im Nenner verschwindet:
Beispiel: f(x) = x²
1/h * (f(x+h) - f(x)) =
1/h * ((x+h)² - x²) =
1/h * (x² + 2xh + h² - x²) =
1/h*(2xh + h²) =
2x + h
Und das konvergiert wie bekannt für h -> 0 gegen 2x
Beispiel:
Beim Würfeln gilt Ω = {1,2,3,4,5,6}. Angenommen es soll eine gerade Augenzahl fallen, dann ist A = {2,4,6}
|Ω| oder |A| meint die Mächtigkeit dieser Mengen. Die Mächtigkeit entspricht der Anzahl der Elemente in der Menge.
Die Schreibweise p = |A| / |Ω| oder p = 3/6 ist also gleichbedeutend. Gewöhnlich wählt man die letztere, weil jeder weiß, was gemeint ist.
a)
Der Punkt D1 hat die Koordinaten D1 = (2, g(2)) = (2,5)
Um den Punkt C1 zu finden, addiert man den Vektor u=(D1-A) auf B:
C1 = (1,4) + (4,0) = (5,4)
Der Punkt D2 hat die Koordinaten D2 = (3, g(3)) = (3,6)
Um den Punkt C2 zu finden, addiert man den Vektor w=(D2-A) auf B:
C2 = (2,5) + (4,0) = (6,5)
b)
Allgemein Dx = (x,g(x)) = (x, x+3) und Cx = (Dx-A) + B
Flächeninhalt Parallelogramm = | a x b | (Betrag des Kreuzprodukts)
Fläche allgemein:
| u x (B-A) | =
| (Dx-A) x (B-A) | =
| (x-1,x+2)) x (3,-1) | =
|(x-1)*(-1) - (x+2)*(3) | = |4x+5|
für D1 ist die Fläche |4*2+5| = 13
für D2 ist die Fläche |4*3+5| = 17
c)
4x+5 = 10 --> x = 5/4
d)
Wenn der Vektor u mit AB zusammenfällt, entsteht kein Parallelogramm.
Parabel 1, Scheitel im Punkt S:
erster Ansatz: n*(x - 1.5)² + 1.5
f(0) = 3 --> n = 2/3
f(x) = 2/3*(x - 1.5)² + 1.5
Parabel 2:
g(x) = a*x² + b*x + c
g(2.25) = a*2.25² + b*2.25 + c = f(2.25) = 1.875
g'(2.25) = 2a*2.25 + b = f'(2.25) = 1
g(4.5) = a*4.5² + b*4.5 + c = 0
LGS mit drei Gleichungen für drei Unbekannte
Lösung a = -22/27, b = 14/3, c = -9/2
###
Volumenintegral:
V1 = π * Integral[0, 2.25] f(x)² dx
V2 = π * Integral[2.25, 4] g(x)² dx
Die Stammfunktion von f(x)² lautet
F(x) = 4/45*x^5 - 2/3*x^4 +8/3*x^3 - 6*x^2 + 9*x + C
Die Stammfunktion von g(x)² lautet
G(x) = 484/3645*x^5 - 154/81*x^4 + 262/27*x^3 - 21*x^2 + 81/4*x + C
π * (F(2.25) - F(0) + G(4) - G(2.25)) ~ 46.7173 Einheiten
u = (x,y,z)
v = (s*x, s*y, s*z)
u*v = s*x²+s*y²+s*z² = s(x²+y²+z²)
|u| = sqrt(x²+y²+z²)
|v| = sqrt(s²x²+s²y²+s²z²) = s*sqrt(x²+y²+z²)
|u|*|v| = sqrt(x²+y²+z²) * s*sqrt(x²+y²+z²) = s(x²+y²+z²)
a)
nachschüssige Rentenzahlung, n Jahre:
Rate = Endkapital * (q - 1)/(q^n - 1)
Rate = 200000 * (1.04 - 1)/(1.04^40 - 1) ~ 2104.69786
Du hast die Formel für die vorschüssige Rente verwendet.
b)
bis auf Rundungsfehler von 2 Cent richtig, streng genommen:
~ 11950.6370752 und ~77958.003
Zwischen den Jahren werden die "krummen" Werte ja auch mitgeschleppt. Wäre interessant zu wissen, wie die Banken das rechnen.
Aufgrund des Strahlensatzes gilt 12/(12-8) = Breite_Boden/3
Breite_Boden = 9
a)
Hier wird leicht verklausuliert verlangt, die Funktion f(x) über das Intervall von x=0 (y-Achse) bis x=2 zu integrieren.
b)
Integriert wird jetzt nicht "unterhalb" von f(x), sondern oberhalb, da die Gerade g im Intervall [0,2] aufgrund der negativen Steigung über dem Graphen f(x) liegt.
In der Lösung nimmt man dazu die Fläche des Rechtecks Urspung-D-B-A (=2*16) abzüglich des in a) berechneten Integrals (=20) plus die Fläche des Dreiecks ABC (=2*AC*1/2). In Summe: 2*16 - 20 + AC
Das soll 20 ergeben, daraus folgt h = AC = 8.
Die beiden Sonderfälle für k = 0 (BCD durch den Punkt A) und k = 6 (BCD durch den Punkt Q) lassen wir weg, weil keine echte Schnittfläche am Quader entsteht.
Lässt man den Winkel von BCD von 0 Grad aus ansteigen, werden 4 Seiten des Quaders geschnitten. Diese Schnittflächen haben deshalb 4 Eckpunkte, bis einschließlich zum Punkt A' = (0,0,3) An dieser Stelle ist k = 3.
Steigt der Winkel von BCD weiter an, werden 5 Seiten des Quaders geschnitten (der Deckel kommt hinzu). Diese Schnittflächen haben deshalb 5 Eckpunkte, bis ausschließlich zu den Punkten PR. An dieser Stelle ist k = 4.
Steigt der Winkel von BCD weiter an, werden 3 Seiten des Quaders geschnitten (die beiden hinteren Seiten fallen weg). Diese Schnittflächen haben deshalb 3 Eckpunkte, bis ausschließlich zum Punkt Q. An dieser Stelle ist k = 6.
Folgendes Bild soll das verdeutlichen:
Rein rechnerisch kommt man zu dieser Lösung, indem man die Ebenengleichungen der 5 Seiten des Quaders:
x=1 (Seite PQ)
y=1 (Seite QR)
y=0 (Seite PA)
x=0 (Seite RA)
z=3 (Deckel)
mit der Ebene BCD x + y + 4/k*z = 4 gleichsetzt. Mit der Bedingung 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 3 findet man dann ein passendes k (oder auch nicht).
Beispiel: Schnitt zwischen x=1 und BCD:
1 + y + 4/k*z = 4
Wegen 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 3 folgt 0 <= k <= 6.
Die Seite PQ hat mit BCD nur für 0 <= k <= 6 eine Schnittgerade. Aus der Anzahl der möglichen Schnittgeraden folgt die gleiche Anzahl an Eckpunkten.
Sollte es wirklich um die Ereignismenge "kleiner 9 oder größer 6" gehen, gibt es 26 Möglichkeiten. In diesen Möglichkeiten ist das Ereignis "größer 6" als Teilmenge bereits enthalten, darf also nicht nochmal gezählt werden.
Bei der Aufgabe e) wurden bei der Befragung 25 Links- und 25 Rechtshänder ermittelt. Theoretisch gibt es davon (50 über 25) Permutationen. Davon wurden genau 2 herausgegriffen.
Welche zwei Permutationen das exakt sind, lässt sich aus p(E) nicht ermitteln.
Deshalb ist die Lösung, "Es werden Linkshänder und Rechtshänder im Wechsel befragt - der Beginn ist offen" eine von vielen möglichen Lösungen, aber dennoch richtig, denn das sind exakt zwei Ereignisse aus den möglichen (50 über 25) Permutationen.
Der Grenzwert ist falsch :
Eine Funktion mit ungeraden und geraden Potenzen kann z.B. symmetrisch zur Achse x=a sein.
Beispiel: f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 2 verläuft symmetrisch zur Achse x=1
