Universelle Eigenschaft Tensorprodukt?
Hallo,
ich habe folgende Frage: Das Tensorprodukt ist ja definiert durch eine universelle Eigenschaft (UE), die besagt, dass zum Tensorprodukt (T,b), mit T VR und b bilineare Abbildung für jedes weitere solche Paar (U,a) eine eindeutige lineare Abbildung existiert.
In dem Beweis der Existenz mussten wir eine Konstruktion für das Tensorprodukt angeben. Was bringt einem die UE, wenn das Tensorprodukt, alsoschon durch b definiert ist? Warum müssen wir uns dann noch eine lineare Abbildung von T nach U definieren und was hat dieser "Zusatz" mit dem Tensorprodukt zu tun?
Bzw. inwieweit ist durch die UE bzw. die Abbildung b nur als definiert, also es ist ja icht klar zu sehen, ob die UE auch andere Abbildungen für b zulässt?
Danke im voraus!
1 Antwort
Was bringt einem die UE, wenn das Tensorprodukt,[...],schon durch b definiert ist?
Das zentrale am Tensorprodukt ist nicht die lästige Konstruktion, sondern eben die universelle Eigenschaft. In den Beweis will man auch eher mit dieser argumentieren, als mit einer konkreten Konstruktion. Für die Existenz ist diese natürlich notwendig.
Warum müssen wir uns dann noch eine lineare Abbildung von T nach U definieren und was hat dieser "Zusatz" mit dem Tensorprodukt zu tun
Dass eine solche eindeutige Abbildung existiert, ist doch gerade die Definition des Tensorprodukts.
Bzw. inwieweit ist durch die UE bzw. die Abbildung b nur als [..]definiert, also es ist ja icht klar zu sehen, ob die UE auch andere Abbildungen für b zulässt?
Soweit ich das verstehe ist die Frage, ob b durch die universelle Eigenschaft bereits festgelegt ist. Nein b ist nicht eindeutig, falls x ein Element aus dem zugrundeliegenden Körper ist und nicht 0, dann ist besitzt auch (T,xb) die universelle Eigenschaft, Für zwei Tensorprodukte (T,b) und (S,a) von V, W gibt es aber einen Iso. f:T-->S mit fob=a. In obigen Fall mit (T,b) und (T,xb) wäre f=x*id.
Man ist immer an UE interessiert, da sie die "wichtigste" Eigenschaft eines Objekts ist. Das Objekt ist dadurch eindeutig bestimmt und in den Beweisen kann man damit auch meist besser arbeiten als mit konkreten Modellen. Denn die universelle Eigenschaft ist ja unabhängig von der Konstruktion. Wenn ich also etwas beweisen will, sollte das ja nicht von der Konstruktion abhängen, sondern nur von der universellen Eigenschaft.
Die zweite Frage müsstest du präzisieren.
Also ich habe halt versucht die UE durch die Konstruktion zu verstehen. Das heißt ich habe geschaut, inwiefern die voraussetzungen für die UE und die konkrete Konstruktion bei Konzeptem/dem Tensorprodukt das Gleiche fordern.
Ich habe die Abbildung b, als das Tensorprodukt gesehen, weil b ja gleich der Verknüpfungsabbildung des Tensorprodukts ist. Nur dann frage ich mich eben, warum dass gneau dann ein tensorprodukt ist, wenn es eine eindeutige (bis auf isomorphie) lineare Abbildung zu einem anderen solchen Paar gbt? Und da verstehe ich den Zusammenhang nicht sonderlich
Weil das die Definition ist. :)
Du definierst das Tensorprodukt nicht als diese Konstruktion, sondern als Tupel (T,b), welches die UE erfüllt.
Daher ist es m.M.n auch der falsche Weg das TP durch die Konstruktion zu verstehen. Diese ist notwendig für die Existenz, aber keiner definiert diesen Vektorraum einfach weil es möglich ist. Nein, man konstruiert ihn, um die UE zu erfüllen.
Ich weiß, dass es als Anfänger schwierig ist sich von Konstruktionen zu lösen. Aber das ist notwendig, denn erstens muss es nicht immer Konstruktionen geben. Zweitens ist es mit diesen auch weniger leicht zu rechnen. Das Schöne an der UE ist ja, dass diese allein reicht, um das Objekt eindeutig bis auf eindeutigen Iso. zu kennen.
Ok, danke für die Antwort! Das heißt also sozusagen, dass das Tensorprodukt als Konstruktion an die UE angelehnt ist und erfüllt diese, das Tensorprodukt ist aber nur eine Möglichkeit die UE zu erfüllen? Für die Existenz muss eine allgemeine Konstruktion angegeben werden, was in dem Fall das Tensorprodukt ist?
Und der Zusammenhang ist dahingehend geregelt, dass die UE das Tensorprodukt definiert und die Konstruktion vom Tensorprodukt erfüllt die UE?
Genau! Im Allgemeinen kann ich nicht davon ausgehen, dass irgendeinene uni. Eig. auch von einem Objekt erfüllt wird. Daher muss ich mir einen Vektorraum bauen. Bei der Konstruktion wird ja ein Untervektorraum rausgeteilt und das wird genau so gemacht, dass alles aufgeht.
Als Beispiel, dass es nicht zu jeder uni. Eig. ein Objekt gibt:
Nennen wir eine Ring(!) I initial, falls es für jede Ring R einen eindeutigen Homomorphismus von I nach R gibt und nennen wir F final, falls einen eindeutigen Hom. von R nach F gibt. Finale und initiale Objekte sind auch eindeutig bis auf eindeutigen Iso. Ein Nullobjekt soll nun ein initialer und finaler Ring sein. Man überlegt sich, dass die ganzen Zahlen ein initialer Ring sind und der Ring {0} ein finaler. Dann kann es aber kein Nullobjekt geben, denn wegen obigen UE müsste es isomorph zu {0} und Z sein, ein Widerspruch. Wir können also kein Nullobjekt in den Ringen konstruieren.
Ich habe das jetzt ein wenig besser verstanden, aber ich Frage mich, warum die im folgenden Bild genannte wichtige Eigenschaft des Tensorprodukt im Bezug auf eine andere Bilineare Abbildung so wichtig ist, und wofür man sie braucht?
Link zum Bild: https://filedn.eu/lpvL8V0phWmSu5xiI31qmmF/UE%20tensorprodukt.png
(ich konnte es, wegen zu vieler Zeichen nicht in die Frage einfügen)
Das ist doch genau die universelle Eigenschaft. Diese braucht man für die Definition. Wofür man das Tensorprodukt braucht ist dann etwas komplizierter. Kurz gesagt kann man das Tensorprodukt z.B. sehr gut in der Physik (wo Tensoren auch ihren Ursprung hatten) und der Differentialgeometrie verwenden. Für die Definition der Differentialformen (ein Beispiel wäre das Differential einer Funktion) ist das Tensorprodukt essentiell.
Ok, danke für die Antwort! Aberwas ist so gut an der UE? Was hat die lineare Abbildung von den zwei Vektorräumen mit dem Tensorprodukt zu tun?