Binomialkoeffzient, wie kann das sein?
Wie ist es möglich, dass es egal ist ob unten k oder (n-k) steht ist sind doch zwei unterschiedliche Terme?
4 Antworten
Eine Interpretation des Binomialkoeffizienten ist die Anzahl der möglichen Auswahlen von k Elementen aus einer n-elementigen Menge:
Wenn ich aus einer 5-elementigen Menge 3 auswählen will, dann kann ich das gerade auf 5 über 3 = 10 mögliche Weise machen, ich kann nämlich auswählen
ausgewählt: 123 nicht ausgewählt: 45
ausgewählt: 124 nicht ausgewählt: 35
ausgewählt: 125 nicht ausgewählt: 34
ausgewählt: 134 nicht ausgewählt: 25
ausgewählt: 135 nicht ausgewählt: 24
ausgewählt: 145 nicht ausgewählt: 23
ausgewählt: 234 nicht ausgewählt: 15
ausgewählt: 235 nicht ausgewählt: 14
ausgewählt: 245 nicht ausgewählt: 13
ausgewählt: 345 nicht ausgewählt 12
Ein Beispiel wäre z. B. das ich bei einer Gruppe von 5 Studenten entscheide, welche 3 in der einen Arbeitsgruppe sind, die anderen beiden sind dann in der anderen. Offensichtlich ist es egal, ob ich die Dreiergruppe bestimme oder die Zweiergruppe, die jeweils anderen 2 bzw. 3 bilden dann die andere Gruppe.
Genauso ist das immer bei den Teilmengen: Ich kann entweder bestimmen, welche Elemente drin sind oder welche Elemente nicht drin sind. Und wenn ich k auswähle, dann wähle ich gerade n-k nicht aus.
Wenn ich von n Kugeln k auswähle und sie blau anmale und die übrigen n-k Kugeln rot anmale, dann hätte ich genauso n-k Kugeln aussuchen können, um sie rot anzumalen und dann den Rest blau.
Darum gilt die Gleichung.
Hallo,
schon mal das Pascalsche Dreieck betrachtet?
Das ist symmetrisch aufgebaut. Jede Zeile liest sich von links nach rechts wie von rechts nach links.
Herzliche Grüße,
Willy
Schreib es mal einfach mal nach Definition hin:
Also steht rechts beides mal im Nenner derselbe Term (die Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation habe ich mir jetzt erspart).
Es ist egal, ob man aus 49 Zahlen 6 als die Lottozahlen zieht, oder 43, die nicht die Lottozahlen sein sollen…