Wie zeigt man das durch vollständige Induktion und Anwendung des Cauchy-Produkts?

Hallo,

ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.

 zeige durch vollständige Induktion und Anwendung des Cauchy-Produkts:

Für alle n, N ∈ N0 gilt

$\sum_{k=o}^n=\binom{N+1+n}{n}$

hat jemand eine Idee?

Answer 1

[Willibergi]

Vermutlich geht es um diese Identität:

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{N+k}{k} = \binom{N+1+n}{n}$

Dafür braucht man kein Cauchy-Produkt, sondern lediglich vollständige Induktion. Der Induktionsanfang n = 0 ist einfaches Nachrechnen. Im Induktionsschritt bleibt dann nur noch

$\displaystyle\binom{N+1+n}{n} + \binom{N+n+1}{n+1} = \binom{N+1+n+1}{n+1}$

zu zeigen. Das gelingt mithilfe der entsprechenden Identitäten für den Binomialkoeffizienten.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik