Mathematischer Beweis?
Hallo!
Welche Methoden gibt es um zu schauen ob eine Natürliche Zahl eine Quadratzahl ist? Ich meine nicht Wurzel ziehen oder etwas ähnliches. Gibt es zum Beispiel für eine Zahl mit besonderem Muster(muss nicht sein kann auch eine ganz normale zahl sein.) einen mathematischen Satz, um zu zeigen, dass diese Zahl eine Quadratzahl ist? Oder irgendein Vorgehen? Formel oder ein Satz am besten
Danke euch und einen schönen Abend! :)
3 Antworten
Du kannst die Zahl in Primzahlen zerlegen. Für jede Zahl gibt es eine eindeutige Zerlegung in Primzahlen, also z. b. ist
Wenn bei dieser eindeutigen Zerlegung alle Hochzahlen gerade sind, dann ist die Zahl eine Quadratzahl.
Interessante Frage !
Meines Wissens (und ich habe mich schon jahrzehntelang mit Mathematik und auch Zahlentheorie beschäftigt) gibt es aber keine so einfachen Möglichkeiten, einer Folge von Dezimalstellen anzusehen, ob sie eine Quadratzahl (oder auch eine Primzahl) darstellt. Gäbe es sowas, so wäre das bestimmt auch schon lange wenigstens in den Kreisen der Zahlentheoretiker bekannt und auch veröffentlicht worden.
Es gibt aber immerhin gewisse Primzahltests, die helfen, eine vorgegebene Zahl auf ihre Primzahleigenschaft zu überprüfen, ohne etwa ihre gesamte Faktorzerlegung zu berechnen (was sehr aufwendig sein kann).
https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahltest
Für den Test auf Quadrat-Eigenschaft würde ich aber etwa zuerst mal die Überlegungen betr. letzter Dezimale (siehe ChrisGE1267) anstellen, dann numerisch einen Näherungswert für die Wurzel berechnen, Rundungen überprüfen, rück-multiplizieren - und fertig !
Erst einmal schauen, ob die Zahl auf 2, 3, 7 oder 8 endet - dann ist es in keinem Fall eine Quadratzahl. In allen anderen Fällen eine Primfaktorzerlegung durchführen, wie von FataMorgana2010 vorgeschlagen…
Primfaktorzerlegung ist eines der aufwändigsten Probleme der Zahlentheorie - darauf beruht die gesamte Verschlüsselung geheimer Daten, weil man einer sehr grossen Zahl (meinetwegen mit 100 Milliarden Stellen) nicht ansehen kann, ob es sich um eine Primzahl handelt…
Der Trick mit der Einerziffer ist cool! Wenn man die Primfaktoren 2 und 5 vorab prüft, bleiben nur noch Zahlen mit der Endziffer 1 oder 9 als Kandidaten für Quadratzahlen.
Für die letzten zwei Ziffern gibt es nur noch 10 (von 100) Kombinationen, und für die letzten drei Ziffern kommen nur 50 (von 1000) in Frage.
Noch mehr Endziffern scheinen nichts mehr zu bringen: Wenn <abc> die Endziffern einer Quadratzahl sind, dann gibt es offenbar für jede Zahl n auch eine Quadratzahl mit den Endziffern 1000n+<abc>. Hast Du dafür eine Erklärung?
Hast Du dafür eine Erklärung?
Verkneife Dir lieber die Antwort, falls sie etwas damit zu tun hat:
BWM 2024, Aufgabe 2
Kann eine Zahl 44…41, deren Dezimaldarstellung aus einer ungeraden Anzahl von Ziffern 4 gefolgt von einer Ziffer 1 besteht, eine Quadratzahl sein?
Erstmal Danke :)
Und gibt es eine andere Möglichkeit als die Primfaktorzerlegung? Wenn ich jetzt eine Zahl mit einem bestimmten Muster habe, wie sehe ich ob diese eine Primzahl ist?