Ist n eine ungerade natürliche Zahl und keine Quadratzahl, so ist die Summe aller Teiler von n gerade?

Würde ich über eine vollständige Induktion versuchen.

Dabei die Fallunterscheidung, ob der hinzukommende Primfaktor (natürlich ungerade) schon in der alten Zahl vorkam und wie oft.

Alternative: Aufspaltung der Zahl in die Potenzen der einzelnen Primfaktoren.

Für 1575 = 3² • 5² • 7¹ erst die 3² und 5² betrachten und dann sehen, wie neue Teiler aus dem Produkt entstehen.

Dann betrachten, wenn diese Zahl mit einer neuen Primzahl 7 multipliziert wird. Das ist einfach, denn zu jeden bisherigen Teiler gibt es zusätzlich genau so viele neue, die alten mit der 7 multipliziert.

Ist n ungerade, so ist 2 kein Teiler von n. Ist n außerdem keine Quadratzahl, so ist für jeden Teiler m auch n/m ein Teiler, der von m verschieden ist (Beweis: Aus n/m = m würde n = m² folgen, also wäre n dann Quadratzahl). Untersuche jetzt mal für einen beliebigen Teiler m, wie n/m aussieht (Fallunterscheidung: Ist m gerade, so ist n/m ... und ist m ungerade, so ist n/m ...).

Ja, das stimmt.

Schau dir die Primzahlzerlegung der Zahl an. Wenn n keine Quadratzahl ist, dann sind alle Potenzen ungerade.

Und jetzt kann man sich überlegen, wie viele Teiler n dann zu den Primzahlen haben kann. Dann kommt noch eine 1 dazu... und fertig.

Ich weiß nicht ob ich die Frage richtig verstanden habe, aber die Summe aller Teiler von 15 ist 1 + 3 + 5 = 9 und das ist ungerade.

Wie komme ich auf dieses Gegenbeispiel? Die Aussage würde bedeuten, dass eine ungerade Zahl nur in eine ungerade Anzahl von Primfaktoren zerlegbar ist (eine ungerade Summe von ungeraden Zahlen ist ungerade, dazu kommt noch die 1 und damit ist die Summe gerade). Das stimmt aber nicht, wie gezeigt.