Frage von kadelinde, 65

Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann kann ihr Quadrat auch gerade sein. Ist dieser Satz richtig?

Antwort
von lks72, 45

Nein

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten des Beweises:

1) UNgerade heißt, es gibt eine Darstellung der Form 2n+1, dann ist das Quadrat aber (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1, also auch eine ungerade Zahl


2) Ungerade heißt, x = 1 (mod2), dann gilt aber auch x^2 = 1^2 = 1 mod 2, also auch ungerade


3) Bei einer ungeraden Zahl x taucht keine 2 in der Primfaktorzerlegung auf, diese kann bei x * x aber auch nicht plötzlich auftauchen, denn auch das zweite x hat keine 2 in der Primfaktorzerlegung

Das sind 3 mögliche Beweise



Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 14

Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist, dann kann ihr Quadrat auch gerade sein. Ist dieser Satz richtig?

Nein. Wenn n∈ℕ prim ist, enthält n² nur n als Primfaktor, wenn auch doppelt. Ist n nicht prim, so lässt sie sich in Primfaktoren zerlegen:

n = ∏ₖ nₖ, nₖ∈ℕ und nₖ prim.

Die Zahl n² enthält genau dieselben Primfaktoren wie n, nur halt je zwei mal, aber die 2 selbst taucht unter diesen Faktoren nur dann auf, wenn n bereits grade ist. In dem Fall ist auch ½n² noch gerade, d.h.

¼n² ∈ ℕ,

da n² den Faktor 2 mindestens doppelt enthält.

Ist n ungerade, so enthält sie auch nicht den Faktor 2, und n² auch nicht.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

Grammatisch richtig, mathematisch falsch.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 45

Nö, es gilt nur die Endziffern zu betrachten

1 → 1
3 → 9
5 → 5
7 → 9
9 → 1

Kommentar von Volens ,

Reicht völlig aus.

Antwort
von 13helofreak13, 33

Nein, kann sie nicht.

Antwort
von bergquelle72, 24

Nein, das wäre ein Widerspruch zu der Aussage, die Du vor 2 Minuten erfragt hattest.

Ein wenig nachdenekn mußt Du schon , wenn Du hier bereits hilfreiche Antworten bekommen hast.

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