Beweis, dass Wurzel aus einer Quadratzahl ein Element von N mit null ist?
Hi!
Kan mir jemand sagen wie ich rechnen muss bzw es erklären soll, das die Wurzel aus einer Quadratzahl ein Element von den Natürlichen Zahlen (mit Null) ist? Also man soll das ja immer durch einen Widerspruch beweisen. Aber wie?
3 Antworten
Du kannst etwas nicht mit einem Widerspruch beweisen, bloß die Gegenannahme widerlegen.
Sei n eine beliebige Quadratzahl und die Wurzel aus n eine rationale Zahl a= p/q, wobei p und q teilerfremd und größer als 1 sind sind.
Dann gilt a=p/q |², a²=p²/q²
n=p²/q², da p und q aber teilerfremd sind, ist p²/q² ebenfalls eine rationale Zahl, obwohl n ja eine natürliche Zahl sein sollte. Das ist ein Widerspruch, also gibt es keine Quadratzahl, deren Wurzel eine Zahl außerhalb von |N ist.
Das ist ein Widerspruch, also gibt es keine Quadratzahl, deren Wurzel eine Zahl außerhalb von |N ist
Du hast damit nur gezeigt, dass die Wurzel nicht in Q\N liegen kann. Du hast nicht gezeigt, dass sie nicht in R\N liegen kann.
Also man soll das ja immer durch einen Widerspruch beweisen. Aber wie?
Wer sagt das? Ist das Teil der Aufgabenstellung, das über einen Widerspruchsbeweis beweisen zu müssen? Wenn nicht, kann man das auch anders beweisen.
Für den Beweis, sollte man evtl. erst einmal klären, wie denn überhaupt die Quadratzahlen und die Quadratwurzel definiert sind. Dann ist der Beweis wirklich nicht schwierig, sondern ergibt sich relativ trivial aus den Definitionen.
Nach Definition von Quadratzahlen gilt:
- Eine Zahl a ist genau dann eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl n ∈ ℕ₀ mit a = n² gibt.
[Bemerkung: Manche Mathematiker definieren das auch mit ℕ statt mit ℕ₀ und schließen die 0 als Quadratzahl aus.]
Nach Definition der Quadratwurzel reeller Zahlen gilt:
- Die Quadratwurzel √(a) einer nicht-negativen reellen Zahl a ist diejenige nicht-negative reelle Zahl x, für die x² = a gilt.
Damit kann man dann einen möglichen Beweis führen.
Zu zeigen:
Wenn a eine beliebige Quadratzahl ist, so ist √(a) ∈ ℕ₀.
Beweis:
Sei a eine beliebige Quadratzahl. Dann gibt es nach Definition der Quadratzahlen ein n ∈ ℕ₀ mit a = n². Da n dann als natürliche Zahl insbesondere auch eine nicht-negative reelle Zahl ist, ergibt sich nach Definition der Quadratwurzel, dass √(a) = n ist. Und da n ∈ ℕ₀ ist, ist wegen √(a) = n dann auch √(a) ∈ ℕ₀.
Fertig.
Also man soll das ja immer durch einen Widerspruch beweisen. Aber wie?
Braucht man hier nicht.
Die Wurzel von x >=0 ist die eindeutige nicht negative Lösung y der Gleichung y^2 = x.
Einen Natürliche Zahl n ist eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl m gibt, sodass m^2 = n gilt.
Führe beides zusammen und du bist fertig.