Beweis durch Widerspruch?
Die einzigen drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen a,b,c, die die Gleichung a^2+b^2=c^2 erfüllen, sind 3,4,5.
Wie lautet der Beweis durch Widerspruch?
3 Antworten
Hallo,
gäbe es diese Zahl, dann müßte es für die Gleichung n²+(n+1)²=(n+2)² eine andere Lösung geben als n=3.
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
n²+n²+2n+1=n²+4n+4.
Alles nach links:
n²-2n-3=0.
(n+1)*(n-3)=0.
Diese Gleichung hat nur die beiden Lösungen n=-1 (keine natürliche Zahl) und n=3.
Somit ist das pythagoräische Tripel 3; 4; 5 tatsächlich das einzige mit drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das ist ein wirklich schlechtes Beispiel für einen indirekten Beweis.
Nehmen wir an, es gäbe drei aufeinander folgende Zahlen a, b und c, mit a^2+b^2=c^2, wobei c < 5 gilt.
Dann gibt es nur die Möglichkeiten:
0^2 + 1^2 = 2^2
1^2 + 2^2 = 3^2
2^2 + 3^2 = 4^2
All das ist falsch, also ist
3^2 + 4^2 = 5^2
die kleinste gesuchte Lösung
Ich würde das so zeigen:
Wenn es 3 solcher aufeinanderfolgender Zahlen gäbe, müsste die Gleichung
(n + 4)² +(n + 5)² = (n + 6)²
eine Lösung im Bereich der natürlichen Zahlen haben.
Es kommt als größte Lösung aber n = -1 heraus, also keine natürliche Zahl.