Du hast 2 Unbekannte, kannst aber 3 Gleichungen aufstellen.

Bestimme a und b mittels der Werte der ersten beiden Planeten und überprüfe die Ergebnisse mittels der Werte des dritten Planeten, setze also x ein und bestimme y.

Weichen die Ergebnisse grob ab, so hast Du die Aussage widerlegt.

Erste 3 Minuten:

1/15 + 1/10 - 1/12 = 1/x

x = 12 Minuten (volle Wanne)

x/2 = 6 Minuten (halbe Wanne)

Nach 3 Minuten ist ein Viertel der Wanne gefüllt. Ein Viertel fehlt.

Nach 3 Minuten:

1/15 + 1/10 = 1/x

x = 6 Minuten (volle Wanne)

1/4 von 6 Minuten 1,5 Minuten

Zusammen:

3 Minuten + 1,5 Minuten = 4,5 Minuten

Die erste Zeile lautet:

582 - 331 = 251

Den Rest schaffst Du.

tan(α) = │(m_1 - m_2) / (1 + m_1 * m_2)│

m_1 und m_2 sind die Steigungen der beiden Funktionen im Schnittpunkt. Diese erhältst Du, indem Du die Funktionen ableitest und jeweils den x-Wert des Schnittpunktes einsetzt.

f(x) = a * x^n

a und n sind zu bestimmen:

Setze A (1│2,5) in f(x) ein und bestimme a:

2,5 = a * 1^n

a = 2,5

Setze a und B (-2│-20) in f(x) ein und bestimme n:

-20 = 2,5 * (-2)^n

-8 = (-2)^n

n = 3

f(x) = 2,5 * x³

Es gibt 2 Wendestellen, eine bei x_1 = -2 und eine bei x_2 = 3.

An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten.

Die dritte Ableitung ist an der Stelle x = -2 negativ und bei x = 3 positiv.

Folglich ist bei x_1 = -2 eine Links-Rechts-Kombination und bei x_2 = 3 eine Rechts-Links-Kombination.

Im Intervall [-2 ; 3] liegt eine Rechtskrümmung vor.

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Jedem x-Wert wird ein und nur ein y-Wert zugeordnet.

Halte ein Lineal parallel zur y-Achse und verschiebe es parallel. Wird der Graph der Funktion dabei an irgendeiner Stelle mehrmals geschnitten? Dann ist es keine Funktion.

e)

x muss größer als 6 sein, das sieht man schon an der Skizze.

x / 7,5 = 6 / 4,5

x = 10

Für die Musik von Michael Jackson konnte ich mich nie begeistern, für die Musik der Beatles schon.

2 Tage haben sie voll gearbeitet.

5 Arbeiter brauchen für den Rest 8 Tage.

4 Arbeiter benötigen für den Rest 5 * 8 / 4 = 10 Tage.

passt auch

Implizit ableiten:

y'(x) = - Fx / Fy

y'(x) = - (2 * e^(2x) * y² - 2x) / (2 * e^(2x) * y - 4)

(0│4) einsetzen:

y'(0) = - (2 * e^(2 * 0) * 4² - 2 * 0) / (2 * e^(2 * 0) * 4 - 4) = -8

Tangentengleichung:

y = -8 * x + b

4 = -8 * 0 + b

b = 4

y = -8 * x + 4

Wir setzen:

x_1 * cos(t) + x_2 * sin(t) = A * cos(t + α)

Additionstheorem Kosinus:

x_1 * cos(t) + x_2 * sin(t) = A * cos(t) * cos(α) - A * sin(t) * sin(α)

Koeffizientenvergleich:

x_1 = A * cos(α) ⇔ x_1 / A = cos(α)

x_2 = -A * sin(α) ⇔ -x_2 / A = sin(α)

trig. Pythagoras:

-x_2 / A = sin(α) = √(1 - cos²(α))

quadrieren:

x_2² / A² = 1 - cos²(α)

cos²(α) = 1 - (x_2² / A²)

cos(α) ersetzen:

x_1² / A² = 1 - (x_2² / A²)

umformen:

A² = x_1² + x_2²

A = √(x_1² + x_2²)

Dreiecksformen: rechtwinklig, gleichseitig, gleichschenklig, gleichschenklig rechtwinklig, ...

zu 2)

Beispiel c)

Schau Dir die Seitenlängen mal an. b und c sind zusammen so lang wie a. Das ergibt kein Dreieck, sondern eine Strecke.

(1) f'(x) = (1 + tan²(2x - 2x² - 1)) * (2 - 4x)

(2) f'(x) =(2 - (2 * tan(2x - 2x² - 1)) / (tan(4x - 4x² - 2))) * (2 - 4x)

Die Umformung von (1) nach (2) erhältst Du, indem Du dass tan² entsprechend (3) ersetzt.

(3) tan²(α) = 1 - ((2 * tan(α)) / tan(2 * α))

Wenn es den Rabatt auf jeden Artikel gibt, den ihr kauft, ist es egal, ob ihr die Artikel zusammenpackt oder nicht.

Wenn der Rabatt davon abhängt, dass man mindestens 5 Artikel kauft, ist es günstiger, die Artikel zusammenzufassen.

Zweimal den Tangens anwenden:

Du kannst das in 2 Schritten machen, also erst h ermitteln und dann s oder in einem Mal, indem Du (1) und (2) gleichsetzt und nach s umstellst :

(1) h = 22 * tan(40°)

(2) h = (s + 22) * tan(16°)

-------------------------

22 * tan(40°) = (s + 22) * tan(16°)

s = 22 * (tan(40°) - tan(16°)) / tan(16°)

s = 42,38

zu a)

Der Kosinus ist definiert als Ankathete zu Hypotenuse. Die Hypotenuse beträgt laut Vorgabe 1. Folglich entspricht der Kosinus der Ankathete und das ist die Höhe h(t).

zu b)

h'(t) = -sin(t)

Die Gondel fällt, die Steigung ist negativ, bis sie den unteren Punkt (Minimum) erreicht. An dieser Stelle ist die Steigung Null. Ab dieser Stelle ist der Sinus negativ und die Steigung wegen dem Vorzeichen vor dem Sinus positiv, bis zum höchsten Punkt (Maximum).

Setze die Werte ein und bilde passende Gleichungen, rechne also aus, was jeweils auf der rechten Seite stehen muss, z.B.:

(1) x + y + z = 1

(2) 2x + 2y - 2z = 2

(3) 4x + y - 2z = 4

Zu untersuchen sind die Umgebungen der ganzen Zahlen. Dabei wird man ein paar Stellen finden, an denen die Funktion stetig ist und viele Stellen, an denen sie das nicht ist.