Vollständige Induktion?
Bei dieser Aufgabe geht es darum zu beweisen, dass für jede natürliche Zahl, die größer gleich 0 ist ,der Term n^3-n durch 3 teilbar ist.
Was ich hier aber nicht verstehe ist wie man anhand der Informationen die in dem Bild gegeben sind darauf kommen soll, dass am Ende auch wieder eine natürliche Zahl herauskommen soll. Fehlt da nicht noch die Informationen, dass (n^3-n)/3 Element der natürlichen Zahlen sein soll? Man kann doch jede beliebige Zahl durch 3 teilen weshalb die Aufgabe ja nur Sinn ergeben würde wenn am Ende auch das Ergebnis Element der natürlichen Zahlen wäre. Aber warum steht das nirgendwo?
Mir geht es nicht um die Lösung der Aufgabe sondern nur um die Formulierung der Aufgabenstellung.
LG und Frohe Weihnachten :)
3 Antworten
Hallo,
bei der vollständigen Induktion darfst Du die Induktionsbehauptung, wenn der Induktionsanfang gemacht ist, für den Beweis benutzen.
Du darfst also zunächst einmal davon ausgehen, daß n³-n tatsächlich durch 3 ohne Rest teilbar ist.
Für n=0 und n=1 stimmt das ja, wie sich durch einfaches Einsetzen nachweisen läßt.
Wenn die Induktionsbehauptung stimmt, dann muß die Aussage, daß n³-n eine durch 3 teilbare Zahl ergibt, auch für den Nachfolger von n, also für n+1 stimmen.
Es muß also gelten: (n+1)³-(n+1) ist ohne Rest durch 3 teilbar.
Ausmultiplizieren: n³+3n²+3n+1-n-1 ergibt n³+3n²+2n.
Das kann man auch so aufschreiben:
n³+3n²+3n-n.
Da man die Induktionsvoraussetzung benutzen darf, darfst Du n³-n aus diesem Term herausziehen. Ist er wirklich durch 3 teilbar, bleibt er es auch, wenn eine laut Voraussetzung durch 3 teilbare Zahl davon abgezogen wird.
n³+3n²+3n-n-n³-(-n)=3n²+3n=3*(n²+n).
Da n als natürlich Zahl definiert ist, ist auch n²+n eine natürliche Zahl und
3(n²+n) eine durch 3 teilbare Zahl.
Herzliche Grüße,
Willy
Coole Erklärung. Interessanter Alternativbeweis :) Danke dir !
Die Definition von teilbar ist, wenn kein Rest übrig bleibt. Eine Zahl mit Komma hat jedoch einen Rest. Das heißt theoretisch, dass 8 nicht durch 3 teilbar ist, auch wenn ein Wert dabei rauskommt…
n³ – n ist immer eine natürliche Zahl, da die Differenz von natürlichen Zahlen, wobei der Subtrahend (n) kleiner ist als der Minuend (n³), wieder eine natürlich Zahl ist.
Ja aber selbst wenn das nicht so wäre also wenn z.B. eine gebrochene oder irrationale Zahl rauskommen würde wäre diese doch durch 3 teilbar, da jede Zahl im Intervall -unendlich bis +unendlich durch 3 teilbar ist. Deshalb verstehe ich den sinn der Aufgabe nicht.
Durch 3 teilbar bedeutet in diesem Zusammenhang natürlich ohne Rest durch 3 teilbar. Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn nach dem Teilen auch wieder eine natürliche Zahl herauskommt.
Eine 4 oder eine 3,7 sind nicht durch 3 teilbar, weil sich bei der 4, wenn man sie durch 3 teilt, ein Rest von 1 ergibt und bei der 3,7 ein Rest von 0,7.
Du kannst es auch ohne vollständige Induktion zeigen:
n³-n=n*(n²-1)=n*(n+1)*(n-1), also ein Produkt aus drei aufeinanderfolgenden Zahlen.
Natürliche Zahlen, die durch 3 geteilt werden, lassen entweder einen Rest von 0, dann nennt man sie durch 3 teilbar, einen Rest von 1 oder einen Rest von 2.
Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen tritt nach dem Teilen durch 3 jeder dieser Reste auf, so daß immer eine Zahl dabei ist, die sich ohne Rest durch 3 teilen läßt und die man als 3k bezeichnen kann. Wenn 3k aber durch 3 teilbar ist, dann ist es auch jedes Produkt, in dem 3k als Faktor vorkommt - und das ist bei (n-1)*n*(n+1) zwangsläufig der Fall. Einer der drei Faktoren ist eine durch 3 teilbare Zahl und damit das ganze Produkt.