Für alle nEN ist n(2n+1)(n+1) durch 6 teilbar.?
Hallo,
ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.
Für alle nEN ist n(2n+1)(n+1) durch 6 teilbar.
1.) Per vollständiger Induktion beweisen.
2.) Einen alternativen Beweis geben, indem mittels den gegeben Term argumentiert wird.
Danke im voraus
2 Antworten
Nachdem Willy den Beweis durch vollständige Induktion skizziert hat, kommt von mir ein "geschlossener" Beweis (Teilaufgabe 2).
Es ist zu zeigen, dass n(2n+1)(n+1) durch 6 teilbar ist. Da 2 und 3 teilerfremd sind, genügt es zu zeigen, dass dieser Term durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Von den Faktoren n und n+1 ist einer gerade und der andere ungerade. Also ist das Produkt gerade und der gesamte Term durch 2 teilbar.
Wenn n durch 3 teilbar ist, dann ist der Term durch 3 teilbar.
Wenn n bei Division durch e den Rest 2 lässt, dann ist n+1 durch 3 teilbar, und damit auch der gesamte Term.
Wenn n bei Division durch 3 den Rest 1 lässt, dann lässt 2n den Rest 2. Damit ist 2n+1 durch 3 teilbar, und damit aufhören der gesamte Term.
Also ist der Term immer durch 2 und 3 teilbar und damit auch durch 6.
w.z.b.w.
Bei solchen Aufgaben ist der Beweis durch vollständige Induktion meistens das Mittel der Wahl.
Hallo,
probiere es für n=1 aus.
Setze statt n den Term (n+1) ein.
Multipliziere die Formel mit n und die Formel mit (n/1) aus.
Da n*(n+1)*(2n+1) laut Voraussetzung durch 6 teilbar ist (was auf jeden Fall für n=1 nachgewiesen ist), kannst Du diesen Term von dem abspalten, der durch Ersetzen von n durch (n+1) entstanden ist.
Der Restterm sollte dann erkennbar durch 6 teilbar sein, man sollte also den Faktor 6 herausziehen können und einen Term behalten, der nur natürliche Zahlen liefert.
Herzliche Grüße,
Willy