Was ist der Unterschied zwischen nCr und nPr?
Guten Tag,
meine zusammengefassten Fragen (Lediglich 3 Stück: 1., 2., 3.) befinden sich weiter unten zwischen den Hastags eingeschlossen.
Ich frage mich, was der Unterschied zwischen der „nCr“-Taste und der „nPr“-Taste ist, also wenn man den Binomialkoeffizienten im Taschenrechner berechnet.
- Die „nCr“-Taste wird ja benutzt, wenn die Reihenfolge egal ist. C -> Combinations (= Kombinationen).
- Die „nPr“-Taste wird ja benutzt, wenn die Reihenfolge beachtet wird. P -> Permutations (= Permutationen).
Doch was rechnet der Taschenrechner anders, wenn ich die „nCr“-Tase bzw. die „nPr“-Taste verwende? Hierfür habe ich im Folgenden ein paar Beispiele gemacht, um es zu verstehen:
- (1)
5 nCr 0 = 1
5 nPr 0 = 1
- (2)
4 nCr 2 = 6
4 nPr 2 = 12
- (3)
6 nCr 2 = 15
6 nPr 2 = 30
- (4)
4 nCr 3 = 4
4 nPr 3 = 24
- (5)
6 nCr 3 = 20
6 nPr 3 = 120
- (6)
8 nCr 3 = 56
8 nPr 3 = 336
- (7)
5 nCr 4 = 5
5 nPr 4 = 120
- (8)
7 nCr 4 = 35
7 nPr 4 = 840
- (9)
9 nCr 4 = 126
9 nPr 4 = 3.024
Feststellungen zu den Beispielen:
- Bei den Beispielen (1)-(3) verdoppelt sich das Ergebnis bei der Verwendung der „nPr“-Taste im Vergleich zur „nCr“-Taste einfach, da es doppelt so viele Möglichkeiten gibt, für zwei gleiche Sachen, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.
- Bei den Beispielen (4)-(6) versechsfacht sich das Ergebnis immer, wenn man die „nPr“-Taste statt der „nCr“-Taste verwendet.
- Bei den Beispielen (7)-(9) vervierundzwanzigt sich das Ergebnis immer, wenn man die „nPr“-Taste statt der „nCr“-Taste verwendet.
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- Nun frage ich mich, was sich bei der Berechnung beim Taschenrechner verändert, wenn statt der „nCr“-Taste die „nPr“-Taste verwendet wird und umgekehrt. Könnt ihr mir das sagen, was der Taschenrechner da anders berechnet?
- Wieso ist immer die Veränderung im Vielfachen in meinen Beispielen (1)-(3); (4)-(6); (7)-(9) gleich, wenn ich statt der „nCr“-Taste die „nPr“-Taste verwende? Gibt es dafür eine Begründung?
- Wieso kommt bei Beispiel (1) immer 1 raus? Wieso kommt immer 1 raus, wenn unten im Binomialkoeffizient 0 steht? Kann mir dafür jemand ein einfaches Beispiel in Form einer „Aufgabe“ geben?
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Beispiel zur Verwendung der „nCr“-Tase im Taschenrechner:
Paul, Julian, Fritz und Thomas möchten zusammen Tennis spielen. Wie viele Möglichkeiten für Zweierteams gibt es (Die Reihenfolge der Nominierung der Spieler in den Teams ist egal)?
Hierbei gibt es ja 4 über 2 Möglichkeiten, also den Binomialkoeffizienten (4 2). Hier verwenden wir nCr, da die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Es ist also egal, ob für ein Zweierteam zuerst der eine Spieler oder erst der andere Spieler nominiert wird.
4 nCr 2 = 6
Beispiel zur Verwendung der „nPr“-Tase im Taschenrechner:
Paul (1), Julian (2), Fritz (3) und Thomas (4) möchten zusammen Tennis spielen. Es werden Zweierteams gebildet. Beide Nummern der Spieler bilden zusammen eine zweistellige Zahlenfolge (Beispiel: Paul (1), Julian (2) = 12 ≠ Julian (2), Paul (1) = 21). Wie viele verschiedene Zahlenfolgen gibt es?
4 nPr 2 = 12
2 Antworten
Hallo,
bei n nCr k rechnet er n!/[k!*(n-k)!].
Bei n nPr k rechnet er n!/(n-k)!, multipliziert also das vorherige Ergebnis mit k!.
n nCr k berechnet die unterschiedlichen Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen ohne Beachtung der Reihenfolge.
n nPr k berechnet das Gleiche, multipliziert es aber mit den Permutationen von k, so daß diesmal auch die Reihenfolge, in der die k Elemente gezogen werden, berücksichtigt wird.
Herzliche Grüße,
Willy
n über 0 ist gleich n!/[0!*(n-0)!]
0! ist gleich 1, n-0 ist gleich n.
Also ist n über 0 (n nCr 0) gleich n!/n!=1.
n über 0 entspricht im Pascalschen Dreieck jeweil der ersten Zahl jeder Zeile - und die ist immer 1.
Perfekte Erklärung, vielen Dank! Hast du dafür vielleicht auch ein Beispiel in der Form wie ich oben ein Beispiel gemacht habe? Oder gibt es dafür gar kein Beispiel?
Paul, Julian, Fritz und Thomas möchten zusammen Tennis spielen. Wie viele Möglichkeiten für Zweierteams gibt es (Die Reihenfolge der Nominierung der Spieler in den Teams ist egal)?
Hierbei gibt es ja 4 über 2 Möglichkeiten, also den Binomialkoeffizienten (4 2). Hier verwenden wir nCr, da die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Es ist also egal, ob für ein Zweierteam zuerst der eine Spieler oder erst der andere Spieler nominiert wird.
4 nCr 2 = 6
Das ist korrekt.
Nun könnte man eine Reihenfolge hineinbringen, in der festgelegt wird, welcher der Spieler gegen die Sonne und welcher mit der Sonne im Rücken spielt oder welcher den ersten Aufschlag hat. Das ergäbe dann 4!/2!=12 Möglichkeiten, also 4 nPr 2.
n über 0 ist gleich n!/[0!*(n-0)!]
0! ist gleich 1, n-0 ist gleich n.
Also ist n über 0 (n nCr 0) gleich n!/n!=1.
n über 0 entspricht im Pascalschen Dreieck jeweil der ersten Zahl jeder Zeile - und die ist immer 1.
Hast du dafür vielleicht auch ein Beispiel in der Form wie ich oben ein Beispiel gemacht habe? Oder gibt es dafür gar kein Beispiel?
Naja, wieviele Möglichkeiten hast Du, um aus n Elementen keins auszusuchen? Natürlich nur eine: Du suchst keins aus und fertig.
Die gleiche Anzahl an Möglichkeiten hast Du auch bei n über n. Du kannst nur auf eine Art alle Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen. Du schnappst Dir alles und gut.
Wieso hast du „n nCr k“ und „n nPr k“ geschrieben?
Steht das r nicht einfach für das k?
Ich habe die Bezeichnungen genommen, die auf dem Taschenrechner stehen. Wofür das r steht, weiß ich nicht. Ich habe mir das nicht ausgedacht.
ChatGPT schreibt folgendes:
- n: Die Gesamtanzahl von Elementen oder Objekten.
- r: Die Anzahl der ausgewählten Elemente oder Objekte.
- C: Steht für Kombinationen. Der Ausdruck "nCr" repräsentiert die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus einer Gesamtmenge von n Elementen zu wählen, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen.
- P: Steht für Permutationen. Der Ausdruck "nPr" repräsentiert die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus einer Gesamtmenge von n Elementen zu wählen, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Dann nennt man im englisch-amerikanischen Sprachraum wahrscheinlioch das r, was wir als k bezeichnen. Kann sein. Ist aber letztlich wurscht, denn n nCr k ist nichts anderes als der Binomialkoeffizient n über k.
n nPr k ist der Binomialkoeffizient multipliziert mit k!.
Doch was rechnet der Taschenrechner anders, wenn ich die „nCr“-Tase bzw. die „nPr“-Taste verwende?
Wieso kommt beim Beispiel (1) immer 1 raus? Wieso kommt immer 1 raus, wenn unten im Binomialkoeffizient 0 steht? Kannst du mir dafür vielleicht ein einfaches Beispiel in Form einer „Aufgabe“ geben?