Approximation der Cosinusfunktion?

Eine Aufgabe zur Approximation der Cosinusfuntion lautet:

Die Funktion f(x) = cos (x) wird im Intervall [- pi/2; pi/2] durch eine ganzrationale Funktion zweiten Grades

g (x) = (- 4/pi²)*x² + 1 approximiert.

a) Zeigen Sie, dass die Funktionswerte von f und g an den Intervallgrenzen und an der Maximalstelle übereinstimmen. Wie unterscheiden sich die Graphen der ersten bzw. zweiten Ableitungen der beiden Funktionen?

b) Als Maß für die Güte der Approximationen werden herangezogen:

(A) Die Differenz der Flächeninhalte der Flächen unter den Kurven in I.

(B) Die maximale Abweichung der Ordinaten I f (x) - g (x) I in I.

Berechnen Sie diese Maße. Welches ist Ihrer Meinung nach als Gütemaß besser geeignet?


Dazu gibt es eine Skizze, die die beiden Graphen der Funktionen f(x) und g(x) im Bereich von - pi/2 bis + pi/2 zeigt.

Jetzt bin ich dabei, diese Aufgabe zu lösen und bin bisher so weit gekommen:

Den ersten Teil der Aufgabe a) schaffe ich wohl. Man setzt die Werte (- pi/2, 0 und + pi/2) in die Funktionen f(x) und g(x) ein. Dabei kommen dann 0, 1 und wieder 0 heraus.

Dann bildet man die erste und zweite Ableitung:

f ' (x) = - sin (x)

f '' (x) = - cos (x)

g' (x) = (-2/pi²) x

g '' (x) = -2/pi²

Was sagt man nun zu der Frage, wie sich die Graphen von f ' (x) und g' (x) sowie von f '' (x) und g'' (x) jeweils unterscheiden?

g' (x) ist ja eine lineare Funktion mit einer konstanten negativen Steigung. Die Minus-Sinus-Funktion dagegen fällt zwar auch in dem Intervall immer ab, jedoch ändert sich die Steigung von Punkt zu Punkt.

Bei der zweiten Ableitung bekommt man für f '' (x) eine Spiegelung der Funktion f (x) an der x-Achse. g'' (x) dagegen ist eine konstante waagerechte Linie auf der Höhe - 0,2026.

Erstaunlich, dass zwei derart ähnliche Graphen sich nach zwei Ableitungen schon derart unterscheiden.

Für Aufgabe b)(A) muss man wohl partielle Integrale bilden. Wie macht man das jetzt? Und was ist die Lösung?

(B) Wie berechnet man die maximale Abweichung der Ordinaten von f(x) und g(x)?

Ich habe zuerst geschätzt, dass sich diese Abweichungen in den Punkten liegt, deren x-Werte - pi/4 und + pi/4 betragen. Da wäre dann g (x) = g (pi/4) = 0,75. Der Cosinus von pi/4 ist 0,7071..., also die Wurzel von 0,5 (aus welchen Gründen auch immer).

Vielleicht liegt die maximale Abweichung von f(x) und g(x) aber auch bei einem höheren Wert als pi/4.

Muss man dann den Term f(x) - g(x) = cos (x) + (4/pi²)*x² - 1 als neue Funktion begreifen und deren Maximum (also einen Extremwert) bestimmen?

Mathematik differentialrechnung Integralrechnung Approximation Cosinus extremwert
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