Optimierung einer Milchtüte mit Volumen und Breite?
Minimale materialsverbrauch
Aufgabe:Der Inhalt sollte ca. 1,5 Liter Milch bereitstellen mit einem Seitenverhältnis* von (h : 1,5x : x).
(Höhe:Breite:Tiefe)
Ich bin sehr verwirrt mit 1,5x als breite und was ist die Tiefe???
Ich habe es mit Volumenformeln und Oformeln versucht aber alles kommt falsch
4 Antworten
Wenn Breite die Seitenlänge von links nach rechts ist, ist Tiefe die Seitenlänge von vorne nach hinten.
Das Volumen ist schon einmal V = h * 1,5 x² = 1500 ml
Das kann man nach h auflösen: h = 1500 cm³ : 1,5 x²
Beim Material soll man vermutlich vereinfachen, dass man überlappende Nähte und Ausklapp-Ecken (nur oben oder oben und unten) nicht berücksichtigt. Dann wäre die Oberfläche:
O = 3 x² + h * 5x
In diese Formel kann man h = 1500 cm³ : 1,5 x² einsetzen:
O = 3 x² + 5000 cm³ * x^-1
Und jetzt ist die Frage, wo diese Funktion ihr Minimum hat. Ich denke dort, wo die Steigung (also die erste Ableitung) gleich Null ist.
O' = 6 x - 5000 cm³ * x^-2
6 x = 5000 cm³ * x^-2
6 x³ = 5000 cm³
x³ = 833,333 cm³
x = 9,41 cm
Dann hätte die Tüte die Maße:
Tiefe = 9,41 cm
Breite = 14,12 cm
Höhe = 11,29 cm
Und war denn das Ergebnis im Endeffekt korrekt? Habe ich mich nicht verrechnet? Ich kenne nämlich keine Milchtüten mit so seltsamen Ausmaßen. Die übliche H-Milch hat h = 19 cm, b = 9 cm, t = 6 cm. Dafür müsste man deutlich mehr Kartonmaterial brauchen. Aber diese Form hat bestimmt andere Vorteile. Z.B. lässt sie sich besser in eine Hand nehmen und man kann deutlich besser und gezielter Milch ausgießen.
Ich habe es zwei mal gemacht. Es war korrekt.
Wenn die Tiefe x ist, so soll die Breite 1,5x sein.
D.h. die Tüte soll 1,5-mal so breit wie Tief sein.
Vielleicht verwirrt dich auch, dass es Höhe×Breite×Tiefe statt Länge×Breite×Höhe ist. Bei Höhe×Breite×Tiefe gibt die Tiefe an, wie weit der Körper „nach hinten“ ausgedehnt ist.
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Das Volumen soll nun etwa 1,5 Liter sein. Drücke das Volumen andererseits mit Hilfe der Seitenlängen aus und stelle eine entsprechende Gleichung auf.
Drücke den Oberflächeninhalt mit Hilfe der Seitenlängen aus. Sorge mit Hilfe der zuvor aufgestellten Gleichung dann dafür, dass der Oberflächeninhalt nur noch von einer Variablen abhängt, indem du eine der beiden Variablen x bzw. h entsprechend ersetzt. Ermittle dann, wann dieser Oberflächeninhalt minimal ist.
======Ergänzung======
Weiterer Lösungsweg zum Vergleich...
[Für 0 < x < (5/6)^(1/3) ist O'(x) < 0 und für x > (5/6)^(1/3) ist O'(x) > 0, weshalb O bei x = (5/6)^(1/3) minimal wird.]
Der Oberflächeninhalt wird bei einer Breite von etwa 1,41 dm und einer Tiefe von etwa 0,94 dm und einer Höhe von etwa 1,06 dm minimal und beträgt dann etwa 7,97 dm².
Also V = a*b*h = x*1,5x*h
1,5[dm]=1,5x^2 * h | :1,5x^2
1,5/1,5x^2 = h = 1/x^2
Und kann man das dan in Oberflächeformel einfügen und davon extremwerten?
O=2⋅a⋅b+2⋅a⋅h+2⋅b⋅h
O = 2*x*1,5x+2*x*1/x^2 + 2*1,5x*1/x^2
Ja genau. Das sieht gut aus. Jetzt hast du eine Funktionsgleichung, welche dir den Oberflächeninhalt in Abhängigkeit von x angibt. Berechne nun wo sich das Minimum dieser Funktion befindet. [Dabei kann die Betrachtung der ersten Ableitung und deren Nullstellen helfen.]
Ich habe nun zum Vergleich in meiner Antwort ergänzt, wie die weitere Rechnung aussehen kann. Denn ich nicht weiß, wann ich das nächste Mal hier reinschaue und dir gegebenenfalls bei weiteren Rückfragen antworten kann.
Die Tiefe ist x, die Breite 1,5x
Bitte poste eine beschriftete Skizze.
Vielleicht brauchst Du sie auch gar nicht mehr zu posten, sobald Du sie mal erstellt hast, - denn die Antwort ist so klar damit.
Suche dazu auch, "was ist ein Liter".
Wow!! Vielen vielen vielen Dank. Respekt❤❤❤❤