Extremewertprobleme?
Hi Leute, ich übe gerade für meine Mathe Klausur und ich verstehe emtremalprobleme immer noch nicht. Könnt ihr mir bitte helfen
2 Antworten
Zu 1) Funktion suchen, die ein Optimum (hier Maximum) aufweisen soll:
f(b) = a * b² (1)
Nebenbedingung benennen:
a + b = 60 (2)
Damit wird aus (1)
f(b) = (60 - b) * b² (3)
f(b) = -b³ + 60b² (3b)
Ableiten:
d/db (60 b² - b³) = -3 (-40 + b) b
Nullstelle
-3 (-40 + b) b = 0
b1 = 0
b2 = 40
Also ist 40 der gesuchte Faktor b und a =20.
In der Regel gibt es eine Zielfunktion f(x) zur Berechnung eines Weges, einer Fläche, eines Volumens etc., und noch eine oder mehrere Nebenbedindungen (d.h. zusätzliche Gleichungen), die in der Aufgabe erfüllt sein müssen. Nicht immer sind alle Gleichungen schon in der Aufgabe als Term ausformuliert, sondern man muss sie aus dem Aufgabentext oder aus einer in der Aufgabe dargestellten Skizze herleiten.
Wenn man mal Zielfunktion f(x) und die Nebenbedingung(en) hat, dann geht es in der Regel so weiter, dass man die Nebenbedingungs-Gleichung(en) nach einer Variablen (ich nenne sie nachfolgend k) auflöst, die schon in der Zielfunktion f(x) vorkommt, und die nicht die Funktionsvariable x selber ist. Dann setzt man im Term der Zielfunktion f(x) an jeder Stelle, wo die Variable k vorkommt, den Term von k ein.
Nun hat man nur noch die erweiterte Zielfunktion, in welcher es ausser x keine anderen unbekannten Variablen mehr gibt.
Dann leitet man die Zielfunktion nach x ab und erhält f'(x).
Um das Optimum zu erhalten, setzt man den Term von f'(x) = 0 und löst nach x auf.
Den so erhaltenen x-Wert (=Xopt) setzt man in die ursprüngliche Zielfunktion f(x) ein , d.h. man berechnet f(Xopt) und erhält dann die unter den Nebenbedingungen grösstmögliche Strecke/Fläche/Volumen etc.
NB: Es kann um ein Minimum oder ein Maximum gehen. Und gewisse Funktionen besitzen mehrere lokale Minima und Maxima. Mit der zweiten Ableitung von f(x) kann man bestimmen, ob ein Minimum oder Maximum an einer bestimmten Stelle von x vorliegt.