Hilfe bei einer Extremwertaufgabe mit Lösung?
Hallo,
ich bräuchte mal Hilfe bei einer Extremwertaufgabe. Sie hat sogar eine Lösung, die angegeben ist, ich kann den Lösungsweg nicht nachvollziehen. es wäre toll, wenn jemand mir die Aufgabe erklären könnte, da ich in einigen Tagen eine Matheklausur schreibe.
Die Aufgabe lautet: Es sollen zylindrische Kochtöpfe einfachster Bauart mit 21 Volumen hergestellt werden. Wie sind der Durchmesser und die Höhe dieser Töpfe zu wählen, wenn die Länge der gesamten Schweißnaht, die am Bodenrand und längs einer Mantellinie verläuft, möglichst kurz werden soll?
das ist die Lösung:
danke schon mal im Voraus!
1 Antwort
Zuerst schaust Du, was maximiert/minimiert werden soll und stellst dafür eine Gleichung auf. Das soll hier die Schweißnaht des Topfes sein. Diese Naht geht laut Aufgabenstellung zum einen um den gesamten Boden herum (=Umfang Topf) und dann noch die Mantelfläche hoch (=Höhe des Topfes), macht als Gleichung:
N=2*pi*r+h; hier wird als Durchmesser x (=2r) gewählt (ich würde einleuchtendere Variablen wählen, also hier das übliche d für den Durchmesser, aber gut...), ergibt eingesetzt: N=pi*x+h
Die Nebenbedingung bildest Du aus dem, was zusätzlich noch vorgegeben ist. Das ist hier das Volumen des Topfes V=2l=2dm³. Der Topf ist zylindrisch, d. h. allgemein: V=pi*r²*h. Hier gilt ja x=2r, also r=x/2, macht eingesetzt: V=pi*(x/2)²*h=pi/4*x²*h. Und das soll laut Vorgabe 2 ergeben, also pi/4*x²h=2.
Jetzt musst Du dahin kommen, dass Deine Hauptbedingung (N=...) nur noch von einer Unbekannten abhängt; im Moment sind es noch x und h. D. h. Du musst die Nebenbedingung entweder nach x oder h umstellen, und das dann in Deine Hauptbedingung einsetzen. Nach x umstellen ist hier deutlich komplizierter (wegen x²) als nach h, also löst Du die Nebenbedingung nach h auf, ergibt:
h=8/(pi*x²).
Das in die Hauptbedingung eingesetzt: N=pi*x+8/(pi*x²); da jetzt N nur noch von x abhängt, schreibst Du N(x)=...
Das ist jetzt die Funktion, von der Du das Minimum bestimmen musst.
Als Minimalstelle sollte da nun x=1,175 dm=11,75 cm rauskommen (habe es jetzt nicht nachgerechnet). Das x noch in die Höhengleichung eingesetzt und Du kommst dort auf 18,5 cm (nicht mit dem gerundeten x-Wert 1,175 rechnen, sondern dem exakten, sonst kämst Du auf 18,4 cm; ist zwar keine Katastrophe, aber könnte evtl. kleinen Abzug geben).
