Vermessung: Hilfe bei Aufgabe?
kann jemand mir den Lösungsweg und die Lösung zu 1005 sagen ich komme nicht mehr weiter.
3 Antworten
Für das erste Dreieck erhalte ich mit dem Kosinussatz die Winkel alpha, beta und gamma zu
66.29°, 54.09° und 59.63°
Für das zweite Dreieck erhalte ich
66.31°, 54.45° und 59.25°
Über den Winkel gamma kann man dann die beiden Fragen beantworten.
Der Sinus von gamma liefert die Höhe auf der Seite BC, also den Abstand von A zu BC, er beträgt im ersten Dreieck 793.72 und im zweiten 794.05, d.h. der Abstand hat sich um 0.33 erhöht.
Der Kosinus liefert den Fusspunkt der Höhe, dessen Veränderung in der zweiten Frage gesucht ist. Im ersten Dreieck ist er 465.19 von C entfernt, im zweiten 472.50. Das heisst, die Verschiebung von A im Bezug zur Linie BC ist 7.31.
Seite a = BC = 1040 (liegt dem Punkt A gegenüber)
Seite b = AC = 920 (liegt dem Punkt B gegenüber)
Seite c = AB = 980 (liegt dem Punkt C gegenüber)
Aufgrund der Flächenformal von Heron gilt für den Abstand A von der Linie BC (das entspricht der Höhe hA im Dreieck ABC):
d = (2/a)*sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) mit s = 1/2*(a+b+c) = 1470
Daraus ergibt sich der Abstand d ~ 793.72 mm
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Die Eckpunkte des Dreiecks seien
A=(Ax,Ay), B=(Bx,By), C=(Cx,Cy)
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man folgende Punkte festlegen:
A=(0,0), B=(Bx,By), C=(920,0)
Weiter gilt:
Abstand AB: Bx² + By² = 980²
Abstand BC: (Bx-920)² + By² = 1040²
Daraus folgt: Bx = 9065/23, By = 245*sqrt(7095)/23
Nun wird der Punkt A verschoben. Die Punkte B und C bleiben unverändert, ansonsten macht die Aufgabe keinen Sinn. Es gilt:
Abstand AB: (Ax-Bx)² + (Ay-By)² = 976²
Abstand AC: (Ax-Cx)² + (Ay-Cy)² = 924²
Bekannte Werte einsetzen:
Abstand AB: (Ax-9065/23)² + (Ay-245*sqrt(7095)/23)² = 976²
Abstand AC: (Ax-920)² + Ay² = 924²
Das ergibt zwei Lösungen:
Lösung 1: Ax ~ -3.9796, Ay ~ 6.1379
Lösung 2: Ax ~ 1366.1, Ay ~ 809.15
Nur Lösung 1 ist sinnvoll, d.h. der Punkt A hat sich ca. 6.14 mm nach oben verschoben.
Ax^2 + Ay^2 = 7.31^2, ich hatte 7.31 in meiner Antwort angegeben. Warum nimmst du nur die Komponente Ax? Die Frage ist natürlich die des "Bezugs zur Linie BC", was etwas schwammig formuliert ist. Ich hatte das als Verschiebung parallel zu BC interpretiert, nachdem der Abstand die vertikale Verschiebung angibt.
Ein Dreieck ist vollständig durch seine Seiten bestimmt. Um die Entfernung von Punkten zu einer Dreiecksseite zu bestimmen benötigst du die Höhe. Du kannst z.B. mit Hilfe des Cosinussatzes zunächst aus den Dreiecksseiten jeweils die Winkel bestimmen und dann mit Hilfe des Sinus im rechtwinkeligen Dreieck die Höhen über den Dreiecksseiten.
was wäre die Lösung hierfür